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Dezimalwaage

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Dezimalwaage
Dezimalwaage

Titelbild: Dezimalwaage im Gleichgewicht

Kurzbeschreibung
Massenvergleich zwischen einem unbekannten Gewicht und einem Normgewicht mittels Übersetzungsverhältnis.
Kategorien
Mechanik, Kräfte im Gleichgewicht
Einordnung in den Lehrplan
Geeignet für: ab Klasse 7.
Basiskonzept: System
Sonstiges
Durchführungsform Lehrerdemoexperiment, Schülerdemoexperiment
Anzahl Experimente in dieser Unterkategorie 1
Anspruch des Aufbaus leicht
Informationen
Name: Christian Thielecke
Kontakt: \text{C.Thielecke}@\text{gmx.net}
Uni: Humboldt-Universität zu Berlin
Betreuer*in: Dr. Franz Boczianowski
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Bei der Dezimalwaage handelt es sich um eine mechanische Waage die zur Gewichtsbestimmung einer unbekannten Masse dient und wird zurückgeführt auf den deutschen A. Quintenz der sie 1821 erfand (vgl. Feynman[1] (1826), S.157) . Die Dezimalwaage vergleicht zwischen einem Normgewicht und der zu wiegenden Masse mittels Übersetzungsverhältnis. In der Regel ist das Verhältnis zwischen der unbekannten Masse und dem Normgewicht 10:1, d.h. beim Wiegen eines 1kg Gewichts wird mit einem Normgewicht von 100g verglichen. Da aber auch andere Verhältnisse einstellbar sind, ist dies ein Experiment um zum einen physikalische Konzepte zu vertiefen und zum anderen um experimentell die verschiedenen Verhältnisse bestimmen zu können.

Didaktischer Teil

Im Alltag ist die Bestimmung einer Masse eine sehr zentrale Frage, z.B. bei der Bestimmung der eigenen Körpermasse oder der Masse eines Quantenteilchens. Besonders die Genauigkeit im Messprozess beim Letzteren ist für die gegenwärtige Forschung sehr relevant. Auch rückblickend war der Mensch schon immer an der Masse eines Objektes interessiert. Besonders beim Kauf von Waren war die Dezimalwaage schon früh ein geeignetes Mittel zur Bestimmung des Preises bezüglich der Masse.

Dieses Experiment dient also mitunter dem historischen Rückblick, wie Menschen schon vor ca. 200 Jahren verschiedene Waren gewogen haben. Weiter dient es zum Verständnis der physikalischen Konzepte "Drehmoment" und "Kräfte im Gleichgewicht". Hier sollte aber unterschieden werden, ob dieses Experiment in der Sek.I oder Sek.II durchgeführt wird. In der Sek.II dient dieses Experiment eher zum Vertiefen der beiden Konzepte und zum Verständnis der Verhältnisgleichung, wo hingegen es in der Sek.I eher ein leichtes Heranführen an die beiden Konzepte und an den Begriff der Proportionalität ermöglicht.

Didaktische Analyse

Da die beiden Konzepte "Drehmoment" und "Kräfte im Gleichgewicht" in der Physik eine wichtige Rolle spielen, hat das Experiment bezüglich dessen eine hohe exemplarische Bedeutung.

Eine Gegenwartsbedeutung bekommt das Experiment, wenn man sich allgemein mit dem Wiegen von Massen beschäftigt.

Ein Teil der heutigen Forschung beschäftigt sich mit der Messgenauigkeit von Massen. Daher bekommt das Experiment diesbezüglich auch eine Zukunftsbedeutung.

Die innere Struktur des Themas und die Zugänglichkeit wird mit diesem Experiment und den Vorkenntnissen von Schülern erreicht, da jeder Schüler schon eine Vorstellung vom Wiegen allgemein mitbringt und in der Regel schon einmal eine Waage genutzt hat.

Weiter stellt dieses Experiment klar und überzeugend das Phänomen des "Gleichgewichtes" bei gleichen Drehmomenten dar und veranschaulicht dieses auch. Da der Bezug auf dem Wiegen von Massen liegt, ist es auch ein Experiment aus dem Alltag. Die Grundvorstellung der Schüler auf einer Wippe, wird ebenfalls durch das Experiment aufgegriffen und vertieft. Außerdem ist es auch interessant zu beobachten, dass wenn man nur ein bisschen die Parameter der Gleichgewichtsposition ändert, dass dann das System aus der Gleichgewichtsposition tritt. D.h. diese Gesetzmäßigkeit wird hier direkt erfahren und qualitativ durch Messen geprüft.

Methodisches Vorgehen

Führt man dieses Experiment in der Sek.I durch, sollten die Schüler schon das Hebelgesetz kennen gelernt haben, d.h. sie wissen, dass in der Gleichgewichtsposition die angreifenden Drehmomente sich gegenseitig aufheben. An dieser Stelle sollte man an dieses Vorwissen anknüpfen und gewisse Einstellungen an der Dezimalwaage vorgeben, sodass die Schülern dann durch das Wiegen von verschiedenen Massen bei verschiedenen Einstellungen den Proportionalitätsfaktor bestimmen können. Besonders wichtig für den Prozess der Erkenntnisgewinnung ist, dass die Schüler die Möglichkeit bekommen den Proportionalitätsfaktor zu erwarten und diesen dann auch bestätigen zu können sowie eine vielleicht vorhandenen Fehlvorstellung in der Auswertung selbständig korrigieren zu können. D.h. die Schüler sollen eine Vermutung aufstellen und dann mittels der erhobenen Daten Schlüsse ziehen. Den Rahmen des Experiments, also den Ablauf, der Aufbau und eventuell notwendige Tabellen zur Dokumentation, sollte der Lehrer vorgeben da sonst eine Überforderung der Schüler die Folge sein könnte.

Das Experiment lässt sich in der Sek.II genauso durchführen wie in der Sek.I, mit dem Unterschied, dass die Schüler sich zuerst die Einstellparameter der Waage anhand einer zuvor erarbeiteten Gleichung errechnen, um sie dann experimentell überprüfen zu können. Das Ziel ist es an dieser Stelle die beiden Konzepte zu vertiefen, sowohl im theoretischen als auch im mathematischen Sinne und eventuelle Fehlerquellen zu identifizieren, die den Unterschied vom Errechneten zum Gemessenen erklären könnten. D.h. die Schüler sollen den Versuch aufbauen, beobachten und messen, die Daten aufbereiten und schließlich Schlüsse ziehen. Die theoretischen und mathematischen Grundlagen sollten an der Stelle vorher zusammen mit dem Lehrer erarbeitet werden, da sonst wieder eine Überforderung der Schüler die Folge sein könnte.

Versuchsanleitung

Aufbau

Abb. 1: Materialien
Abb. 2: Fertiger Versuchsaufbau (Waage im Gleichgewicht)

Ein großer Vorteil dieses Experimentes ist der simple Aufbau. Weiter sind die Materialien die zum Aufbau verwendet werden müssen sehr kostengünstig.

Materielien des Experimentes

  • zwei Dreifüße
  • zwei Stativstangen
  • zwei passende Fäden mit jeweils zwei Schlaufen
  • ein Norm-Gewichtssatz
  • eine Doppelmuffe
  • zweiseitiger Hebel
  • ein Brett mit Langloch und Haken
  • ein Brett mit Haken
  • zwei Brettauflagen
  • ein Klammerzeiger

Der Aufbau des Experimentes wird mit den aufgelisteten Materialien aus Abbildung 1, wie in Abbildung 2 aufgebaut. Das einzige Problem beim Aufbau ist die Länge der beiden Fäden, die genau aufeinander abgestimmt sein müssen, sodass die beiden Bretter nur auf den beiden Brettauflagen liegen. Außerdem müssen beide Fäden immer parallel zur Stativstange sein. Wenn man mit dem Aufbau fertig ist, muss man nur noch den zweiseitigen Hebel in ein Gleichgewicht mittels Normgewicht bringen, da die Bretter eine Kraft auf den rechten Arm des Hebels ausüben, die ausgeglichen werden muss. D.h. Ausgleichsmassen müssen dann immer vor Beginn des Experimentes individuell herausgefunden und angebracht werden.

Durchführung

Abb. 3: Einstellmöglichkeit der Dezimalwaage

Nachdem der Hebel mittels Gewicht ins Gleichgewicht gebracht worden ist und die verschiedenen Einstellungen getätigt worden sind, kann eine zu den Parametern passende Datenreihe mittels verschiedener Massen erhoben werden. Danach können dann folgende Parameter geändert werden, um den Proportionalitätsfaktor beeinflussen zu können (mit Definition aus der Abbildung 3):

  • die linke Aufhängung der Masse mit a\in\{1,\dots,10\}
  • einmal die rechte Aufhängung des ersten Fadens b\in\{1,\dots,6\} und des zweiten Fadens c\in\{5,\dots,10\}, wobei hier aber aus aufbautechnischen Gründen gelten sollte b< c und c-b=4.
  • der Abstand x der Masse auf dem ersten Brett mit Langloch zu seiner Brettauflage
  • der Abstand y vom Rand des zweiten Brett zu seiner Brettauflage

Nun kann man immer den Proportionalitätsfaktor zwischen der Masse auf der linken Seite des Hebels mit Abstand a und der Masse auf dem ersten Brett mit Abstand x durch auflegen verschiedener Massen berechnen oder experimentell bestimmen. D.h. es wird ein k\in\mathbb{R} bestimmt mit der Eigenschaft m_{x}=k\cdot m_{a}. Wenn man jetzt noch darauf achtet, dass die Gleichung b=\frac{c\cdot y}{l_{2}} in der Parametereinstellung erfüllt ist, bekommt man den Effekt, dass es egal ist in welchen Abstand x man die Masse platziert.

Messunsicherheit

Die größte Fehlerquelle ist hier die Reibung an allen Teilen. Hier ist eine Messunsicherheit von 1\% der Masse m_{x} eine erste gute Abschätzung, d.h. befindet sich das System im Gleichgewicht, so ist es mit der folgenden Unsicherheit auch noch im Gleichgewicht \Delta m_{a}=\pm \frac{m_{x}}{100}.
Wenn man als Beispiel k=10 und die Masse m_{a}=50g sowie die Masse m_{x}=500g wählt so ist das System auch mit der Masse m_{a}\in[45g,\dots,55g] noch im Gleichgewicht.
Eine weitere Fehlerquelle besteht darin, dass die Variablen x,y,l_{2} durch Messen erfasst werden und somit fehlerbehaftet sein können. Diese Betrachtung entfällt aber im Spezialfall von b=\frac{c\cdot y}{l_{2}}.

Ergebnisse

Wenn man dieses Experiment in der Sek.I durchführt, sollten an dieser Stelle die Werte aller Variablen vorgegeben sein, um den Schülern z.B. über ein Protokoll die Möglichkeit zu bieten, den Proportionalitätsfaktor k durch Auflegen verschiedener Massen zu ermitteln. Dies kann durch ein m_{x}-m_{a} Diagramm erfolgen, bei dem man an einem linearen Graphen die Steigung misst oder errechnet. Hierbei sollte auch der Raum geschaffen werden um den Spezialfall für b mit den Schülern diskutieren zu können.
In der Sek.II können alle Werte selbst gewählt werden, da man hier nur die Richtigkeit der folgenden vorher erarbeiten Gleichung überprüft

m_{x}=m_{a}\cdot\left(\frac{a}{\frac{b}{x}+\frac{c\cdot y}{l_{2}}\cdot\left(1-\frac{1}{x}\right)}\right).

Der Spezialfall für b und ein paar Proportionalitätsfaktoren sowie eine Fehlereinschätzung hin zur Reibung sollten in den Erwartungshorizont z.B. eines Protokolls integriert sein.

Auswertung

Als Ergebnis sollten die Schüler der Sek.I erkennen, dass bei einer beliebigen Einstellung folgendes gilt m_{x}\sim m_{a} sowie als Fehlerquelle die Reibung erkennen.
In der Sek.II sollte die Richtigkeit der obigen Gleichung und im Spezialfall b=\frac{c\cdot y}{l_{2}} ein Proportinalitätsfaktor von k=\frac{a}{b} bestätigt werden sowie die Eigenschaft, dass die Position der Masse m_{x} in diesem Fall keine Rolle spielt. Außerdem sollte über mögliche Fehlerquellen diskutiert werden.

Sicherheitshinweise

Da bei diesem Experiment mit Massen hantiert wird, sollte auf einen vorsichtigen Umgang mit den Massen hingewiesen werden, sodass keine Schüler, z.B. durch versehentliches fallen lassen verletzt werden.

Literatur

  1. A.L.Crelle (1826): Journal - Band 1: Für die reine und angewandte Mathematik; Duncker & Humblot Verlag, Berlin

Siehe auch