Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit unter Verwendung der Lecher-Leitung

Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit unter Verwendung der Lecher-Leitung
Abb. 1: Aufbau des Experimentes
Kurzbeschreibung
Unter Verwendung der kurzgeschlossen Lecher-Leitung können die Stromknoten elektromagnetischer Wellen und daraus die Lichtgeschwindigkeit bestimmt werden.
Kategorien
Kategorie:Optik
Einordnung in den Lehrplan
Geeignet für:	Klasse 11, Sek. II
Basiskonzept:	Wechselwirkung
Sonstiges
Durchführungsform	Demoexperiment oder Schülerexperiment
Anzahl Experimente in dieser Unterkategorie	1
Anspruch des Aufbaus	mittel
Informationen
Name:	Sylvia Kowalski
Kontakt:	sylvia.kowalski@cms.hu-berlin.de
Uni:	Humboldt-Universität zu Berlin
Betreuer*in:	Wiebke Musold

Die Lecher-Leitung ist aus dem Alltag in Fernsehantennenkabeln älterer Bauart bekannt. Sie besteht aus zwei parallel angeordneten Leitungsdrähten, welche von einer Seite an einen Wellengenerator angeschlossen und von der anderen Seite kurzgeschlossen sind. Dadurch breitet sich eine elektromagnetische Welle in den Drähten aus, welche am kurzgeschlossenen Ende reflektiert wird. Die einlaufende und die reflektierte Welle überlagern sich und es entsteht eine stehende Welle. Anhand der stehenden Welle können die Stromknoten und daraus die Lichtgeschwindigkeit bestimmt werden.

Didaktischer Teil

Der Versuch kann in der gymnasialen Oberstufe im zweiten Kurshalbjahr zur Unterrichtsreihe im Thema "Elektromagnetische Wellen" (siehe Berliner Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe S. 24) realisiert werden. Am Besten eignen sich dafür die Unterrichtsstunden zum Ende der Reihe. Je nachdem, ob der Versuch als Demoexperiment von der Lehrperson durchgeführt wird oder als Schülerexperiment von den Schülerinnen und Schülern, sollten 1-2 Stunden für den Versuch und die Auswertung eingeplant werden. Da die Messunsicherheiten bei diesem Experiment eine große Rolle spielen, kann der Versuch dazu genutzt werden den Umgang mit Messunsicherheiten zu üben.
Ich möchte mich deshalb in diesem Abschnitt mit der Relevanz der Berücksichtigung von Messunsicherheiten im Schulunterricht auseinandersetzen. Dazu habe ich mir die KMK Bildungsstandards im Fach Physik (siehe KMK ) genauer angeschaut. In den Kompetenzbereichen Fachwissen, Erkenntnisgewinnung, Kommunikation und Bewertung werden Standards genannt, welche die Schülerinnen und Schüler für den Mittleren Schulabschluss erreichen sollen. In den drei letzteren Kompetenzbereichen werden mehrere Standards genannt, welche die Relevanz der Behandlung der Messunsicherheiten im Physikunterricht verdeutlichen.

Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung (siehe KMK S. 11)
Die Schülerinnen und Schüler ...
E7 ... führen einfache Experimente nach Anleitung durch und werten sie aus,
E8 ... planen einfache Experimente, führen sie durch und dokumentieren die Ergebnisse,
E9 ... werten gewonnene Daten aus, ggf. auch durch einfache Mathematisierungen,
E10 ... beurteilen die Gültigkeit empirischer Ergebnisse und deren Verallgemeinerung.

Im Bereich Erkentnissgewinnung setzen gleich vier Standards die Kenntnis und das Verständnis von Messunsicherheiten voraus. Sowohl das Auswerten von Experimenten und gewonnenen Daten, das Dokumentieren von Ergebnissen und das Beurteilen der Gültigkeit von empirischen Erbegnissen kann nur dann erreicht werden, wenn Schülerinnen und Schüler den Umgang mit Messunsicherheiten gelernt haben.
Dieser Versuch eignet sich gut für die Übung der Standards E8 und E9. Die Schülerinnen und Schüler dokumentieren die Ergebnisse für die Lichtgeschwindigkeiten, welche sie aus dem Experiment erhalten und können die unterschiedlichen Messunsicherheiten bestimmen und somit die Daten auswerten.

Kompetenzbereich Kommunikation (siehe KMK S. 12)
Die Schülerinnen und Schüler ...
K1 ... tauschen sich über physikalische Erkenntnisse und deren Anwendungen unter angemessener Verwendung der Fachsprache und fachtypischer Darstellungen aus,
K5 ... dokumentieren die Ergebnisse ihrer Arbeit,
K7 ... diskutieren Arbeitsergebnisse und Sachverhalte unter physikalischen Gesichtspunkten.

Drei Standards des Kompetenzbereiches Kommunikation benötigen die Berücksichtigung von Messunsicherheiten im Unterricht. Das Austauschen physikalischer Erkenntnisse, Dokumentieren der Ergebnisse und die Diskussion der Ergebnisse unter physikalischen Gesichtspunkten fordert ebenfalls einen vorherigen Umgang mit Messunsicherheiten.
Dieser Versuch kann gezielt für alle drei Standards genutzt werden. Eine Partnerarbeit oder eine Abschlussdiskussion kann dazu genutzt werden die erhaltenen Ergebnisse untereinander zu besprechen. Ebenfalls können die verschiedenen Einschätzungen, welche die Schülerinnen und Schüler für die Wahl des zufälligen Fehlers vom Experimentator getroffen haben, diskutiert werden.

Kompetenzbereich Bewertung (siehe KMK S. 12)
Die Schülerinnen und Schüler ...
B1 ...zeigen an einfachen Beispielen die Chancen und Grenzen physikalischer Sichtweisen bei inner- und außerfachlichen Kontexten auf,
B2 ... vergleichen und bewerten alternative technische Lösungen auch unter Berücksichtung physikalischer, ökonomischer, sozialer und ökologischer Aspekte.

Die letzten zwei Standards, welche nur durch ein vertieftes Verständnis von Messunsicherheiten erlangt werden können, befinden sich im Kompetenzbereich Bewertung. Die Bewertung von Chancen und Grenzen, die Bewertung und der Vergleich alternativer Lösungen kann nur dann stattfinden, wenn die Schülerinnen und Schüler den Umgang mit Messunsicherheiten ausreichend genug im Unterricht behandelt haben.
Anhand dieses Versuches kann der Standard B2 trainiert werden. Der Vergleich mit dem Referenzwert und die Bewertung wie gut die eigenen Ergebnisse anhand der Messunsicherheiten sind, ist eine gute Übung für die Schülerinnen und Schüler.

Allgemein kann gesagt werden, dass die Berücksichtigung und der Umgang von Messunsicherheiten im Physikunterricht sehr wichtig ist. Die Relevanz kann schön über die Standards der KMK Blidungsstandards gezeigt werden. Ein sicherer Umgang mit Messunsicherheiten von Schülerinnen und Schülern ist darin offensichtlich gefordert und muss deshalb im Unterricht gefördert werden.

Versuchsanleitung

Aufbau

Abb.2: Materialienübersicht

Geräteliste
- Dezimeterwellengenerator
- kurzgeschlossene Lecher-Leitung
- 2 Halterungen mit Stiel für die Lecher-Leitung
- 2 Stativstangen (15 cm)
- 3 Klemmen
- 4 Stativfüße
- Meterstab
- 1-2 Glühlampen auf E10 Schraubfassung

Abb.3: Versuchsaufbau von der Seite

Der Aufbau orientiert sich an den Abbildungen 1 und 3. An den Wellengenerator wird eine Stativstange geschraubt und diese anschließend auf einen Stativfuß befestigt. Die beiden Halterungen mit Stiel für die Lecher-Leitung werden ebenfalls auf Stativfüße befestigt. Die Lecher-Leitung wird mit dem Dezimeterwellengenerator verbunden, die Halterungen werden links und rechts unter die Lecher-Leitung gestellt, so dass die Leitung waagerecht verläuft. Die letzte Stativstange wird an ein Stativfuß festgesteckt. Mit zwei Klemmen kann dann das Metermaß, waagerecht und mit dem Maßstab nach oben gerichtet, befestigt werden.

Durchführung

Der Dezimeterwellengenerator wird durch Anschluss des Steckernetzgerätes angeschaltet. Eine Glühbirne kann anhand einer Klemme entlang der Lecher-Leitung verschoben werden. Dabei muss ein direkter Kontakt mit der Leitung und den Tastknöpfen der Schraubfassung entstehen. Es wird eine Stelle auf der Lecher-Leitung gesucht, an der die Glühlampe so hell wie möglich aufleuchtet. Die Glühlampe kann nun auf der Lecher-Leitung verschoben werden. Dabei gilt es die Stromknoten, also die Punkte an denen die Lampe hell aufleuchtet, zu finden. Es wurden zwei Varianten benutzt um die Stromknoten an der Lecher-Leitung zu bestimmen.

Variante 1
Die Glühlampe wird „von links nach rechts“ auf der Lecher-Leitung geschoben. Dabei werden die Stellen markiert, an denen die Glühlampe am hellsten leuchtet. Das Gleiche gilt für die Verschiebung der Glühlampe „von rechts nach links“.

Variante 2
Die Glühlampe wird „von links nach rechts“ auf der Lecher-Leitung geschoben. Dabei werden die Stellen markiert, an denen die Glühlampe anfängt zu leuchten und dann an der Stelle wo die Glühlampe wieder erlischt.

Ergebnisse

Die Messung wurde für beide Varianten durchgeführt. Die Frequenz des Dezimeterwellengenerators beträgt: $f=(433,92\pm 0,04)Mhz$ und ist bei beiden Varianten gleich.
Anhand des Dezimeterwellengenerators werden stehende Wellen auf der Lecher-Leitung erzeugt. Bei Einstrahlung eines hochfrequenten elektromagnetischen Feldes in eine Lecher-Leitung pflanzt sich eine Spannungswelle $U=U_{0}\cdot sin(\omega t-kx)$ und eine Stromwelle $I=I_{0}\cdot sin(\omega t-kx)$ mit $\omega =2\pi v$ und $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ in $x$-Richtung fort.
Am Ende der Leitung ist die Spannung Null, die einlaufende Spannungswelle wird also um einen Phasensprung von $\pi$ reflektiert. Die Überlagerung der eingehenden Spannungswelle und der reflektierten Spanungswelle ergibt die Wellengleichung $U=-2U_{0}sin(kx)\cdot cos(\omega t).$
Am kurzgeschlossenen Ende fließt ein Strom, die einlaufende Welle wird also ohne Phasensprung reflektiert. Die Überlagerung beider Wellen ergibt $I=2I_{0}cos(kx)\cdot sin(\omega t).$
Am kurzgeschlossenen Ende ist die Spannung stets Null, also setzen wir dort $x=0.$ Für die Berechnung weiterer Spannungsknoten setzen wir $sin(kx)=0$ und daraus folgt $x={\frac {n\lambda }{2}}$ mit $n=1,2,3,....$
Also ist die Strecke zwischen zwei Spannungsknoten $d={\frac {\lambda }{2}}.$ Spannung und Strom verhalten sich in der Lecher-Leitung komplementär zueinander, also gilt dies ebenfalls für die Strecke zwischen zwei Stromknoten.
Die Lichtgeschwindigkeit $c$ kann über die Relation $c=\lambda \cdot f$ bestimmt werden. Der Abstand $d$ der Stromknoten ist die Hälfte der Wellenlänge $\lambda .$ Es gilt $d={\frac {\lambda }{2}}.$ Daraus gilt, dass die Lichtgeschwindigkeit $c$ in diesem Experiment über $c=2\cdot d\cdot f$ bestimmt werden kann.

Variante 1
Für Variante 1 wurden 2 Messreihen aufgenommen. Die erste Messreihe gilt der „links nach rechts“-Verschiebung, die zweite Messreihe der „rechts nach links“-Verschiebung.
Die Unsicherheiten lauten: $u_{l}=0,01m;u_{r}=0,01m$ und $u_{d_{lr}}=u_{d_{rl}}=0,014m.$

Messreihe 1

$l$ in m	$r$ in m	$d_{lr}$ in m
0,09	0,39	0,30
0,08	0,41	0,33
0,08	0,40	0,32
0,10	0,43	0,33
0,11	0,42	0,31
0,09	0,39	0,30
0,09	0,39	0,30
0,08	0,41	0,33
0,10	0,43	0,33
0,10	0,40	0,30

Messreihe 2

$r$ in m	$l$ in m	$d_{rl}$ in m
0,50	0,11	0,39
0,47	0,15	0,32
0,46	0,16	0,30
0,44	0,12	0,32
0,47	0,15	0,32
0,46	0,14	0,32
0,47	0,15	0,33
0,47	0,15	0,32
0,47	0,15	0,32
0,46	0,13	0,33

Nun bestimmen wir die Mittelwerte für die berechneten Abstände $d_{lr}$ und $d_{rl}$ zwischen den Stromknoten $l,r.$
$d_{lr}=(0,32\pm 0,05)m$
$d_{rl}=(0,33\pm 0,05)m$

Variante 2
Für Variante 2 wurden zwei weitere Messreihen aufgenommen. Die dritte Messreihe beschreibt die Stellen an denen die Glühlampe aufleuchtet. Die vierte Messreihe beschreibt die Stellen an denen die Glühlampe erlischt. Zusätzlich kann hier auch der Mittelpunkt zwischen dem Aufleuchten und dem Erlischen bestimmt werden. Da dies aber kein besseres Ergebnis lieferte, wurde darauf verzichtet.
Die Unsicherheiten lauten: $u_{A_{1}}=u_{A_{2}}=0,01m;u_{E_{1}}=u_{E_{2}}=0,01m$ und $u_{d_{A}}=u_{d_{E}}=0,014m.$

Messreihe 3

$A_{1}$ in m	$A_{2}$ in m	$d_{A}$ in m
0,04	0,34	0,30
0,05	0,34	0,29
0,04	0,33	0,27
0,05	0,36	0,31
0,04	0,35	0,31
0,04	0,35	0,31

Messreihe 4

$E_{1}$ in m	$E_{2}$ in m	$d_{E}$ in m
0,09	0,39	0,30
0,09	0,40	0,31
0,08	0,38	0,30
0,08	0,38	0,30
0,09	0,39	0,30
0,09	0,39	0,30

Nun bestimmen wir die Mittelwerte für die berechneten Abstände $d_{A}$ und $d_{E}$ zwischen den Stromknoten $A_{1},A_{2}$ und $E_{1},E_{2}.$
$d_{A}=(0,30\pm 0,04)m$
$d_{E}=(0,30\pm 0,04)m$

Die Berechnung der Unsicherheiten wird im Abschnitt zur Auswertung erläutert.

Auswertung

Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt ungefähr $3\cdot 10^{8}{\frac {m}{s}}.$ Wir befinden uns aber nicht im Vakuum sondern in Luft und auch die endliche Dicke der Lecher-Leitung spielt eine Rolle. Außerdem fließen die Ströme bei hoher Frequenz an der Oberfläche und nicht homogen durch den Draht (Skineffekt). Daher nehmen wir als Referenzwert den Wert den die Versuchanleitung (siehe LEYBOLD ) zu diesem Experiment angegeben hat. Der Referenzwert der Lichtgeschwindigkeit $c$ liegt bei $c_{Ref}=2,93\cdot 10^{8}{\frac {m}{s}}$ (siehe LEYBOLD ).
Nun möchte ich die Unsicherheiten betrachten. Die größte Unsicherheit entsteht durch den Experimentator selbst.
In Variante 1 muss der Stromknoten gefunden werden, das heißt die Stelle, an der die Glühlampe am hellsten leuchtet. Dies ist sehr schwierig zu erfassen.
In Variante 2 muss die Stelle gefunden werden, an der die Glühlampe gerade anfängt zu leuchten und wieder aufhört. Auch dies stellte sich als schwierig dar. Daher wird hier ein relativ großer zufälliger Fehler geschätzt.
Das Ablesen der Stellen am Maßstab ergab zusätzlich einen systematischen Fehler.

Unsicherheiten für Variante 1
Für Messreihe 1 & 2 erigbt sich für die Messung der Stromknoten $l,r$ ein zufälliger Fehler von $u_{l_{zuf}}=u_{r_{zuf}}=0,01m$ und ein systematischer Fehler $u_{l_{sys}}=u_{r_{sys}}=0,005m.$
Aus der pythagoreischen Addition ergibt sich das zu der Unsicherheit $u_{l}=u_{r}={\sqrt {0,01^{2}+0,005^{2}}}=0,01m.$
Die Unsicherheit der Differenz der Abstände $d_{lr}$ und $d_{rl}$ ergibt sich ebenfalls aus der pythagoreischen Addition zu $u_{d_{l}r}=u_{d_{r}l}={\sqrt {u_{l}^{2}+u_{r}^{2}}}=0,014m.$
Unsicherheiten für Variante 2
Für Messreihe 3 & 4 erigbt sich für die Messung der Stromknoten $A_{1},A_{2},E_{1},E_{2}$ ein zufälliger Fehler von $u_{A_{zuf}}=u_{E_{zuf}}=0,01m$ und ein systematischer Fehler $u_{A_{sys}}=u_{E_{sys}}=0,005m.$
Aus der pythagoreischen Addition ergibt sich das zu der Unsicherheit $u_{A}=u_{E}={\sqrt {{0,01}^{2}+{0,005}^{2}}}=0,01m.$
Die Unsicherheit der Differenz der Abstände $d_{A}$ und $d_{E}$ ergibt sich ebenfalls aus der pythagoreischen Addition zu $u_{d_{A}}=u_{d_{E}}={\sqrt {u_{A}^{2}+u_{E}^{2}}}=0,014m.$
Unsicherheiten für beide Varianten
Da ich den Mittelwert der Abstände für die einzelnen Messreihen berechnet habe, muss die Unsicherheit der Differenz der Abstände der Stromknoten durch die pythagoreische Addition bestimmt werden über:
$u_{d}={\sqrt {n\cdot {u_{d_{i}}}^{2}}}$, wobei $i=lr,rl,A,E$ und $n=10$ für Messreihe 1 & 2 und $n=6$ für Messreihe 3 & 4.

Zusammenfassung der berechneten Abstände $d$ und deren Unsicherheit $u_{d}$ in $m$

Messreihe	$d$	$u_{d}$
1	0,32	0,05
2	0,33	0,05
3	0,30	0,04
4	0,30	0,04

Die Unsicherheit der Frequenz wurde vom Hersteller angegeben und beträgt:
$u_{f}=0,04Mhz.$
Für die Bestimmung der Unsicherheit der Lichtgeschwindigkeit kann für alle 4 Messreihen die Gauß'sche Fehlerfortpflanzung
$u_{c}={\sqrt {(2\cdot d\cdot u_{f})^{2}+(2\cdot f\cdot u_{d})^{2}}}$
verwendet werden.
Wie oben bereits erwähnt, kann nun die Lichtgeschwindigkeit über die Relation $c=2\cdot d\cdot f$ bestimmt werden. Für die 4 Messreihen ergeben sich folgende Werte:

Vergleich der Lichtgeschwindigkeiten $c$ in $10^{8}{\frac {m}{s}}$

	Variante 1		Variante 2	Referenzwertwert
Messreihe 1	$c_{lr}=2,78\pm 0,43$	Messreihe 3	$c_{A}=2,60\pm 0,35$	$c_{Ref}=2,93$
Messreihe 2	$c_{rl}=2,86\pm 0,43$	Messreihe 4	$c_{E}=2,60\pm 0,35$

Der Referenzwert liegt innerhalb des Vetrauensbereiches aller Messwerte. Insgesamt kann also gesagt werden, dass das Experiment sich gut für die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit eignet. Die Messung der exakten Stromknoten, also Variante 1, bietet sich dafür am Besten. Zusätzlich können in der Schule die Unsicherheiten, welche bei diesem Experiment wichtig sind, mit den Schülerinnen und Schülern diskutiert werden. Auch die mathematische Einfachheit der Formeln möchte ich gerne erwähnen. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Lichtgeschwindigkeit nur über die Grundrechenarten. Auch die Unsicherheitenrechnung über Ableitungen sollte für Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe II kein Problem darstellen.

Sicherheitshinweise

Der Dezimeterwellengenerator sollte nicht auf den Tisch gestellt werden, da er sich sehr schnell erhitzt. Auf der Stativstange liegt er frei und die Wärme entweicht leichter.

Zusätzliches

Dieser Artikel behandelt nur die kurzgeschlossene Lecher-Leitung. Es gibt aber noch die Möglichkeit die Lichtgeschwindigkeit $c$ anhand der offenen Lecher-Leitung zu bestimmen.
Außerdem kann anstelle der Glühlampe auf einer E10 Schraubfassung auch eine Induktionsschleife zum Finden der Stromknoten benutzt werden. Hinweise zu diesen Verfahren können in der Versuchsanleitung (siehe LEYBOLD ) nachgelesen werden.

Der Artikel "Mikrowellen: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit einem Mikrowellenherd" (siehe Urch ) behandelt den Verusch der Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit anhand eines Mikrowellenherdes. Wie in der Lecher-Leichtung entstehen in der Mikrowelle stehende Wellen. Die Wellen werden an den Mikrowellenherdwänden reflektiert und überlagern sich. Genau wie in diesem Versuch, kann die Lichtgeschwindigkeit über die Relation $c=f\cdot \lambda$ bestimmt werden. Die entstehenden Hot-Spots liegen ebenfalls im Abstand von $d={\frac {\lambda }{2}}.$ Somit kann die Lichtgeschwindigkeit unter Verwendung derselben Formel $c=2\cdot f\cdot d$ bestimmt werden.