Messung der Klaviatur

Messung der Klaviatur
(Frequenz-)Messung der Klaviatur mit einem PC
Kurzbeschreibung
Der physikalische Hintergrund von Tonleitern wird untersucht, indem die Frequenzen der Töne einer Tonleiter gemessen und grafisch ausgewertet werden.
Kategorien
Mechanik, Akustik
Einordnung in den Lehrplan
Geeignet für:	9/10
Basiskonzept:	System
Sonstiges
Durchführungsform	Demoexperiment
Anspruch des Aufbaus	leicht
Informationen
Name:	Stephan Schultz
Kontakt:	${\text{originalschuuultz}}$@${\text{web.de}}$
Uni:	Humboldt-Universität zu Berlin
Betreuer*in:	Nico Westphal

Die westliche (Musik-)Welt hat sich auf 12 Halbtöne pro Oktave geeinigt, die für die größten Kompositionen der Musikgeschichte gereicht haben. Diese Halbtöne spiegeln sich in den einzelnen Tasten der Klaviatur wieder (siehe Abb. 1). Mit diesem Experiment soll untersucht werden, welcher physikalischer Zusammenhang zwischen diesen Halbtönen besteht. Gleichzeitig wird eine Grundlage zur Thematisierung von Harmonien geschaffen.

Didaktischer Teil

Der Versuch beinhaltet die Aufnahme zweier Messreihen. Die zweite Messreihe wird aufgenommen, nachdem die erste ausgewertet wurde. Die gewünschte Erkenntnis erhält man erst durch die zweite Messreihe, genau genommen auch allein durch diese. Ich möchte kurz erörtern, warum ich trotzdem eine andere Messreihe vorweg behandle.
Gewiss gibt es Schülerinnen und Schüler, die sich mit Musik sehr gut auskennen. Sie können selbst ein Instrument spielen, Noten lesen, sie wissen, wie man Harmonien entwickelt. Andererseits gibt es auch Schülerinnen und Schüler, die sich nicht für solche Dinge interessieren, die gerne Musik hören, aber selbst keine musische Bildung besitzen. Sie wissen vielleicht, dass es weiße und schwarze Tasten auf dem Klavier gibt, aber wofür die genau da sind, ist unbekannt.
Mit der ersten Messreihe werden die gröbsten Schülervorstellungen angesprochen. Die weißen Tasten reichen für eine Tonleiter aus, mit der man "Alle meine Entchen" spielen kann. Das sind die "normalen Töne" (ohne Vorzeichen). Daher werden diese zuerst untersucht. Die Verbindung zwischen dem, was man kennt und sieht (Tasten) und dem Gemessenen (Frequenzen/Frequenzsprünge) soll thematisiert werden. Wurde die erste Messreihe aufgenommen, schaut man sich gemeinsam die Frequenzen und die Klaviatur an. Offensichtlich hängen hier die unterschiedlichen Frequenzsprünge davon ab, ob zwischen den Tönen eine schwarze Taste liegt oder nicht (Ganz- oder Halbton). Alleine durch die Auswertung der ersten Reihe wird die Bedeutung der schwarzen Tasten und somit die Bedeutung der Halbtöne für den Aufbau einer Tonleiter hervorgehoben. Das Ergebnis der zweiten Messreihe kann somit vor der Durchführung schon erahnt werden.

Versuchsanleitung

Aufbau

Abb. 1: Eine Oktave von c′ bis c″

Abb. 2: Standardeinstellung für Scope

Material:

• PC (mit Programm Scope)
• Mikrofon
• Keyboard (oder auch ein Klavier)

Zu Beginn wird das Mikrofon an den PC angeschlossen, sofern kein integriertes Mikrofon genutzt wird. Das Programm „Soundcard Scope“ (im folgenden „Scope“ genannt) wird gestartet, es ist als Freeware im Internet zu finden . In unmittelbarer Nähe zum Mikrofon wird das Keyboard positioniert, sodass gespielte Töne vom Mikrofon aufgenommen und mit dem Programm verwertet werden können. Dabei reicht es vollkommen aus, einen Toneingang zu nutzen. Das Programm wird im Reiter „Frequenz“ genutzt und der Frequenzbereich auf 100 Hz bis 600 Hz eingestellt (siehe Abb. 2).

Durchführung

Abb. 3: Frequenzmessung mit Scope (hier: c′)

Im Folgenden werden jeweils zwei Messreihen beschrieben. Der Ablauf des Experimentes sieht dabei wie folgt aus: Durchführung Messreihe 1, Ergebnis Messreihe 1, Auswertung Messreihe 1, Übergang zur Messreihe 2, Durchführung Messreihe 2, Ergebnis Messreihe 2, Auswertung Messreihe 2. Möglich ist aber auch das Weglassen der Messreihe 1 sowie der Übergang zur Messreihe 2.

Messreihe 1

Es werden nacheinander die Grundtöne der C-Dur-Tonleiter gespielt und jeweils die Frequenzen der Grundtöne gemessen. Man beginnt mit dem Ton c′. Sobald der Ton gespielt wird, zerlegt das Programm den erzeugten Klang in minimale Frequenzbereiche und gibt die jeweiligen Lautstärken der Bereiche an. Schiebt man nun den Cursor auf das lokale Maximum mit der geringsten Frequenz, kann mit Hilfe von Scope die Frequenz des Grundtons bestimmt werden (siehe Abb. 3). Dies wird bis zum Ton c″ fortgeführt.

Messreihe 2

Nach der Auswertung der ersten Messreihe, werden zusätzlich die Halbtöne zwischen den Grundtönen gemessen. Als Summe der beiden Reihen erhält man eine Messung der 12-stufigen Stimmung (eine Oktave besteht aus 12 Halbtonschritten). Die Messung der kompletten Oktave, also aller 12 Halbtöne, ist auch möglich. Dabei können andere Messwerte im Vergleich zur ersten Messreihe aufgenommen werden.

Ergebnisse

Messreihe 1

In der folgenden Tabelle sind die Messwerte einer Messreihe aufgezeichnet. Abweichungen (Gründe: siehe Auswertung Messreihe 1) sind möglich.

Tonname	Stufe	Frequenz (in Hz)
c′	1	262
d′	2	293
e′	3	332
f′	4	351
g′	5	394
a′	6	441
h′	7	495
c″	8	525

Messreihe 2

Die Messwerte der 12-stufigen Stimmung sind in der folgenden Tabelle zusammengetragen. Auch hier sind Abweichungen möglich.

Tonname	Stufe	Frequenz (in Hz)
c′	1	262
cis′	2	277
d′	3	293
dis′	4	313
e′	5	332
f′	6	351
fis′	7	371
g′	8	394
gis′	9	416
a′	10	441
ais′	11	467
h′	12	495
c″	13	525

Auswertung

Abb. 4: Messwerte der C-Dur-Tonleiter (QtiPlot)

Abb. 5: Messwerte der 12-stufigen Stimmung (QtiPlot)

Abb. 6: Kontrolle mit einem exponentiellen Fit

Messreihe 1

Mit QtiPlot werden die Messwerte in einem Diagramm dargestellt (siehe Abb. 4). Dabei wird eine Messungenauigkeit von 10 Hz angenommen. Sie basiert auf dem Ablesen der Frequenzen im Programm Scope. Der Cursor kann falsch eingestellt sein, so dass nicht das Maximum abgelesen wird. Desweiteren sind nicht alle Frequenzen mit dem Cursor einstellbar, da diese Frequenzauswahl durch die Pixeldarstellung eingegrenzt ist. Zu dieser Ableseungenauigkeit kommen Ungenauigkeiten der Technik. Die Qualität der Lautsprecher spielt eine Rolle, sowie die des Mikrofons. Da keine Ungenauigkeiten auf den Geräten angegeben sind, wird die Messungenauigkeit grob bei den oben genannten 10 Hz angenommen.
In der Grafik sind unterschiedliche Frequenzsprünge zu erkennen, die Auswahl der Frequenzen wirkt willkürlich. Musiker erkennen jedoch die Systematik, sie basiert auf Ganz- und Halbtonschritten. Daher werden in der folgenden 2. Messreihe alle Halbtöne mit einbezogen.

Messreihe 2

Ein zweites Diagramm wird mit QtiPlot erstellt (siehe Abb. 5). Die Messungenauigkeit bleibt basierend auf den oben genannten Gründen gleich.
Bei der Auswertung der Grafik erkennt man zuerst schnell, dass die Frequenz von c″ doppelt so groß ist wie die Frequenz von c′. Eine Oktave entspricht somit einem Grundton und seinem ersten Oberton. Jede Oktave ist wohlklingend, diese Verdoppelung gilt also nicht nur für den Ton c′. Da diese Verdoppelung bei jeder Oktave, also nicht nur für den Grundton c′, zutrifft, wird vermutet, dass die Halbtonschritte auf einer Exponentialfunktion liegen. Dies kann, bei genauer Betrachtung der Messwerte in der Tabelle und im Diagramm (Abb. 5), auch durch das Ansteigen der Frequenzen in immer größer werdenden Schritten angenommen werden. Durch den entsprechenden Fit ist zu erkennen, dass alle Halbtonschritte auf einer Exponentialfunktione liegen (siehe Abb. 6). Sie besitzen alles das gleiche Frequenzverhältnis. Da zwölf Halbtöne einer Oktave und somit einer Verdoppelung der Frequenz entsprechen, beträgt das Frequenzverhältnis zweier Halbtöne bei einer gleichstufigen Stimmung ${\sqrt[{12}]{2}}$ also ungefähr 1,059 .

Weitere Hinweise

Vor der Durchführung des Experimentes sollte man sich mit Scope auseinandersetzen und die richtigen Einstellungen für die Messungen austesten. Dabei spielen die Lautstärke des Keyboards, der Abstand des Mikrofons von der Schallquelle und die diversen Einstellungen bei Scope (Amplitude, Frequenzbereich, Skaleneinheit) wichtige Rollen.
Die Technik sollte kein Problem darstellen, da nur ein Mikrofon angeschlossen und das Programm installiert werden muss.
Während der Durchführung sollten alle Nebengeräusche unterbunden werden. Falls es jedoch nicht möglich ist bzw. mögliche Störungen bekannt sind, sollten die Einstellungen (s.o.) so gewählt werden, dass eine Messung trotzdem durchgeführt werden kann. Die Nebengeräusche können vor der Messung mit Scope thematisiert werden, um mögliche Messfehler oder Missverständnisse von Schülerinnen und Schülern zu verhindern.