Elektronenbeugung an einem polykristallinen Gitter

Elektronenbeugung an einem polykristallinen Gitter
Interferenzbild der Elektronenwellen
Kurzbeschreibung
Mit Hilfe einer speziellen Elektronenröhre, dessen Elektronenstrahl auf ein polykristallines Gitter ermöglicht eine bildliche Darstellung des Welle-Teilchen-Dualismus bei massebehafteten Quantenobjekten (Elektronen).
Kategorien
Atom- und Kernphysik
Einordnung in den Lehrplan
Geeignet für:	Sek. II
Basiskonzept:	Wechselwirkung, Struktur der Materie
Sonstiges
Durchführungsform	Lehrerdemoexperiment, Schülerdemoexperiment
Anzahl Experimente in dieser Unterkategorie	2-3
Anspruch des Aufbaus	einfach
Informationen
Name:	Sascha Horn
Kontakt:	educ.horn@gmail.com
Uni:	Humboldt-Universität zu Berlin
Betreuer*in:	Dr. Franz Boczianowski

Der Einsatz der Elektronenbeugungsröhre im Physikunterricht bietet die seltene Möglichkeit zu zeigen, wie Elektronen neben ihren offensichtlichen Teilcheneigenschaften auch Wellenphänomene zeigen.
Bei dem Experiment wird in einem Vakuum ein fokussierter Elektronenstrahl auf eine dünne polykristalline Graphitprobe gerichtet. Die Elektronen durchdringen die Probe und interferieren. Am Ende treffen sie auf einen Fluoreszenzschirm, bei dem die Interferenzerscheinung durch eine konzentrisch-ringförmige Intensitätsverteilung sichtbar wird. Die Ringgröße ist von der Beschleunigungsspannung abhängig.

Einleitung

Mit Hilfe der Elektronenbeugungsröhre kann neben der rein qualitativen Demonstration des Beugungseffektes auch die Wellenlänge der Elektronen auf zwei unterschiedlichen Wegen bestimmt werden. Zusätzlich kann noch der Netzabstand des Graphits ermittelt werden. Das hier vorgestellte Experiment ist als Komplettsatz von LD Didactic unter der Versuchsnummer P6.1.5.1 verfügbar.

Zum Verständnis des fachwissenschaftlichen Teils inklusive Herleitung der verwendeten Formeln siehe Literatur.

Didaktischer Teil

In der Sekundarstufe II haben die Schüler gelernt, dass Licht sowohl Welleneigenschaften besitzt (Beugung und Interferenzerscheinungen) als auch Teilcheneigenschaften (Photoeffekt).

Dass Elektronen Teilcheneigenschaften besitzen, ist durch deren Masse und Elementarladung leicht zu vermitteln. Mit der Elektronenbeugungsröhre können nun auch die Welleneigenschaften von Elektronen demonstriert werden. Hier liegt eine wichtige Lernchance, um die Quantenmechanik besser begreifbar zu machen. So sind Schülererfahrungen zu Teilchen und Wellen unweigerlich an makroskopischen Objekten geknüpft. In der Quantenwelt gibt es aber diese Trennung nicht. Deshalb ist es sinnvoll nicht nur bei Lichtquanten den Dualismus zu vermitteln sondern auch bei massebehafteten Objekten.

Das Experiment erfordert jedoch ein umfassendes Vorwissen. Da bei dem Experiment die Elektronen nicht direkt beobachtet werden können, sondern nur das Leuchten eines Fluoreszenzschirms, sollte darauf direkt eingegangen werden. Sofern die Lorentzkraft behandelt wurde, kann bei der Vorführung des Experimentes mit einem Magneten die Elektronenbahn abgelenkt werden und den Schülern so nahegelegt werden, dass als Ursache der Leuchterscheinung tatsächlich Elektronen verantwortlich sind.

Das größte Hindernis beim Verstehen des Experimentes ist aber wohl das polykristalline Graphit. Die Struktur ist so fein, dass sie nicht mit bloßem Auge zu erkennen ist. Den Aufbau müssen die Schüler somit „glauben“. Sinnvoll ist es hier, wenn ähnliche Beugungsmuster mittels LASER und eines Gitters erzeugt werden können um so eine sinnvolle Analogie zu schaffen. Der nächste entscheidende Schritt ist die Erklärung des Glanzwinkels bzw. der Bragg-Bedingung. Zur Entstehung von konstruktiver Interferenz müssen die benachbarten Netzebenen der Mikrokristallite einem ganzzahligen Vielfachen der Elektronenwellenlänge entsprechen. Die Netzebenen sind dabei räumlich immer nur für die einzelnen Mikrokristallite aus dem die polykristaline Graphitfolie besteht, beschränkt. Die Netzebenenabstände selbst sind jedoch für alle Mikrokristallite konstant. Daraus ergibt sich, dass bei Reflexion am Graphit dies immer unter demselben Winkel (Glanzwinkel) geschieht. Weil die Mikrokristallite aber eine zufällige Anordnung ohne Bevorzung einer bestimmten Richtung besitzen, erzeugen sie am Schirm die Ringform. Weil die Kohlenstoffatome hexagonal angeordnet sind, gibt es zwei verschiedene (orthogonal zueinander). Aus diesem Grund sind auf dem Schirm zwei Ringe zusehen. Beide Ringe gehören zum Maximum der ersten Ordnung. Der kleinere Ring gehört dabei zum größeren Netzebenenabstand und andersherum. Der helle Punkt in der Mitte des Schirms wird durch Elektronen hervorgerufen, die die Graphitprobe ungehindert, also ungebeugt, durchlaufen sind.

Versuchsanleitung

Beschrieben wird das Experiment zur Bestimmung der Wellenlänge der Elektronen, für den Versuch zur Bestimmung der Netzebenenabstände mit gleichem Aufbau wird empfohlen das Handbuch der Elektronenbeugungsröhre von Leybold Didaktik zu verwenden

Benötigte Materialien

• 1 Elektronenbeugungsröhre

• 1 Röhrenständer

• 1 Hochspannungsnetzgerät 10 kV

• 1 Präzisions-Messschieber

• 6 Sicherheits-Experimentierkabel folgender Länge: 1x 25 cm (rot), 1x 50 cm (rot), 1x 100 cm (rot), 1 x 100 cm (blau), 2x 100 cm (schwarz)

Aufbau

Die Elektronenbeugungsröhre wird vorsichtig in den Röhrenständer geführt. Die Kathodenheizung (Anschluss F1, F2 am Röhrenständer) muss nun mit dem Hochspannungs-netzgerät rückseitig (Wechselspannung, 6,3 V / 2 A) verbunden werden. Zusätzlich wird Buchse C und X an den Minuspol und Buchse A (Anode) an den Pluspol des 5kV / 2 mA Ausganges angeschlossen.

In den Abbildungen ist ein anderer Ständer abgebildet, bei dem die Position leicht abweicht. Die Werte für Spannung und Strom bleiben aber gleich, da es sich um die passende Röhre handelt und der Ständer lediglich eine Schnittstelle zwischen Röhre und Netzgerät ist.

• 

  Aufbau mit Hochspannungsnetzgerät, verkabelter Elektronenbeugungsröhre und dem dazugehörigen Ständer

• 

  Rückansicht des Ständers und der entsprechenden Verkabelung

Durchführung

Zur Durchführung des Experiments stellt man am Netzgerät eine Beschleunigungsspannung von ca. 3 kV ein, so dass erstmals die Ringe beobachtet werden können. Dann werden die beiden Ringe, welche je einer der Netzebenenabstände zuzuordnen sind, mit einen Präzisions-Messschieber in 0,5 kV-Schritten gemessen. Zusätzlich muss einmalig der Abstand zwischen Graphitfolie und Fluoreszenzschirm gemessen werden. Da man den Abstand nur von außerhalb der Röhre messen kann, bietet sich alternativ der Wert aus dem Handbuch, welcher L = 13,3 mm beträgt.

Ergebnisse

In Tabelle 1 findet sich die Beispielmessung für eingestellte Werte der Beschleunigungsspannung zwischen 3 und 5 kV mit den dazugehörigen Messwerten der Ringdurchmesser $D_{1}$ und $D_{2}$. Für den Abstand zwischen Graphitfolie und Fluoreszenzschirm wurde eine Länge L von 13,4 mm gemessen.

U in kV	$D_{1}$ in mm	$D_{2}$ in mm
3,0	28 ± 1	50 ± 1
3,5	27 ± 1	47 ± 1
4,0	26 ± 1	44 ± 1
4,5	25 ± 1	41 ± 1
5,0	24 ± 1	39 ± 1

Auswertung

Zur Bestimmung der Wellenlänge nutzt man folgende Formel

$\lambda =2d\cdot \sin({\frac {1}{2}}\arctan({\frac {D}{2L}}))$

Für die Netzebenenabstände d verwenden wir folgende Literaturwerte: $d_{1}=2{,}13\cdot 10^{-10}m$ und $d_{2}=1{,}23\cdot 10^{-10}m$. Setzt man die Werte ein, erhält man folgende Wellenlängen:

U in kV	$D_{1}$ in mm	$\lambda _{1}$ in pm	$D_{2}$ in mm	$\lambda _{2}$ in pm
3,0	28	22,3	50	22,8
3,5	27	21,5	47	21,5
4,0	26	20,0	44	20,1
4,5	25	19,2	41	18,8
5,0	24	18,4	39	17,9

Zum Vergleich kann man auch die Wellenlängen wie folgt berechnen:

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{\sqrt {2meU}}}$

Für die Elektronenmasse m, der Planckschen Konstante h und der Elementarladung e setzt man entsprechend die Literaturwerte ein und für die Beschleunigungsspannung U die entsprechenden Werte aus der Tabelle (3-5 kV). Zum Vergleich sind die Wellenlängen aus beiden Methoden aufgeführt:

U in KV	$\lambda _{deBroglie}$ in pm	$\lambda _{1}$ in pm	$\lambda _{2}$ in pm
3,0	22,3	22,3	22,8
3,5	20,7	21,5	21,5
4,0	19,4	20,0	20,1
4,5	18,3	19,2	18,8
5,0	17,3	18,4	17,9

Beide Methoden zeigen im Rahmen der Messgenauigkeit übereinstimmende Werte für die Wellenlängen der Elektronen. Bei beiden Methoden ist zu sehen, wie analog zum Photon, mit steigender Energie (höhere Beschleunigungsspannung) der Elektronen deren Wellenlänge kleiner wird.

Fehlerbetrachtung

Bei der Berechnung der Wellenlänge $\lambda$ durch Messung der Ringdurchmesser wurde zur Vereinfachung die Kleinwinkelnäherung genutzt, der Fehler dabei liegt bei wenigen Prozent. Die größte Unsicherheit tritt beim Ablesen vom Messschieber bei der Bestimmung der Ringdurchmesser auf. Der Fehler liegt beim inneren Ring bei 5 % und beim äußeren Ring bei 3 %.

Die Genauigkeit des Hochspannungs-Netzgerätes gibt Leybold mit 3 % an.

Die Messunsicherheiten bei beiden Methoden haben in etwa die gleiche Größe und im Rahmen dieser Genauigkeit lassen sich übereinstimmende Ergebnisse ermitteln.