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Coulombkraft - Abstandsabhängigkeit bestimmen

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Coulombkraft - Abstandsabhängigkeit bestimmen
Kugel am Kraftsensor und auf Rollwagen

Zwei geladene Kugeln: Kugel 1 am Kraftsensor und Kugel 2 beweglich auf einem Rollwagen

Kurzbeschreibung
Mittels zweier mit Hochspannung geladener Kugeln wird die Abstandsabhängigkeit der Coulombkraft bestimmt/überprüft.
Kategorien
Elektrizitätslehre
Einordnung in den Lehrplan
Geeignet für: Sek. II
Basiskonzept: Wechselwirkung
Sonstiges
Durchführungsform Lehrerdemoexperiment
Anspruch des Aufbaus mittel
Informationen
Name: Daniel-Friedrich Zechlin
Kontakt: zechlin@physik.hu-berlin.de
Uni: Humboldt-Universität zu Berlin
Betreuer*in: Steffen Wagner
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Nach dem Coulombschen Gesetz wirkt zwischen zwei punktförmigen Ladungen Q_1 und Q_2 im Abstand r die Kraft

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}.

Dabei ist \varepsilon_0 die elektrische Feldkonstante. Für den Betrag der Coulombkraft gilt also:

 |F| \sim \frac{1}{r^2}.

Im beschriebenen Experiment werden zwei mittels Hochspannung geladene Kugeln voneinander entfernt und die jeweils zwischen den Kugel gemessene Kraft in Abhängigkeit des Abstands aufgetragen. Dies wird mit Hilfe eines x-y-Schreibers realisiert, der die Kugeln nach Start der Messung mechanisch über die Bewegung des Messschlittens voneinander entfernt und gleichzeitig die gemessene Kraft auf der y-Achse aufträgt.

Der beschriebene Versuch dient der inhaltlichen Erarbeitung der \frac{1}{r^2}-Abhängigkeit Coulombkraft, methodisch steht die Verwendung des x-y-Schreibers und die Datenauswertung im Mittelpunkt.

Didaktischer Teil

Für den Aufbau dieses Versuchs graben wir den wahrscheinlich inzwischen verstaubten x-y-Schreiber heraus, obwohl auch die Aufnahme und Auswertung der Messwerte mit Hilfe von Cassy möglich ist und von Leybold vorgeschlagen wird (siehe Aufbau). Wann und warum lohnt es sich trotzdem, den x-y-Schreiber zu verwenden?

Mit Hilfe von Cassy oder einem anderen computerunterstützten Messwerterfassungssystem lassen sich die Messwerte für die Coulombkraft zeitsparend und übersichtlich als Kraft-Abstandskurve aufnehmen. Wird das Experiment noch mit einer Ladungsmessung verbunden, so kann mit Hilfe einer bereitgestellten Einstellungsvorlage (Cassy) zudem unkompliziert und schnell die elektrische Feldkonstante bestimmt werden. Die Messwerte sind dabei frei von zusätzlichen Ableseunsicherheiten und das Vorgehen ist zeitgemäß und bei etwas Erfahrung vermutlich weniger anfällig für Bedienfehler als der x-y-Schreiber. Zudem locken computerunterstützte Messwerterfassungssysteme mit einer hohen Messgenauigkeit. Ist diese jedoch für diesen Versuch hilfreich bzw. nötig?

Werten wir die Messwerte aus, so stellen wir fest, dass wir bei geringeren Abständen (r < 6,5 cm) aufgrund eines systematischen Fehlers eine starke Abweichung von der erwarteten \frac{1}{r^2}-Abhängigkeit haben und unsere Messwerte dort nicht innerhalb der betrachteten Unsicherheiten liegen (genaueres dazu im Kapitel Auswertung). Dieser Effekt im Nahfeld der Kugeln ist also kein Problem einer zu geringen Messgenauigkeit des x-y-Schreibers, diese ist völlig ausreichend. Auch mit einer computergestützten Messwerterfassung ist ein quantitativer Nachweis des Coulombgesetzes in diesem Bereich nicht so einfach möglich. Diese suggeriert dem Schüler oft sogar eine zu hohe Genauigkeit, sodass über andere Fehlerquellen evtl. nicht nachgedacht wird. Daher ist es sinnvoll, diesen Versuch zu nutzen, um bspw. die genannte Abweichung im Nahfeld sowie verschiedene Unsicherheiten und deren Ursache in den Mittelpunkt zu stellen. Bei einem Fokus auf die Datenauswertung und der Analyse von Unsicherheiten, bietet sich die Verwendung des x-y-Schreibers also besonders an. Handwerkliche Fähigkeiten der Datenauswertung können als zentrale Kompetenz der Erkenntnisgewinnung (siehe bspw. [1], Berliner Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe Physik, S. 19) mit diesem Experiment besonders gut geschult werden. Die Arbeit mit dem x-y-Schreiber eignet sich somit gut als Brücke zwischen einfachen Vorversuchen mit qualitativen Erkenntnissen zur Coulombkraft und einer genauen Auswertung mit einem computerunterstützten Messwerterfassungssystem (durch Mehrfachmessungen).

Der Aufbau mit dem x-y-Schreiber bietet neben einer ausreichenden Messgenauigkeit auch den Vorteil einer anschaulicheren Messung. Durch die Verbindung des Messschlittens mit der beweglichen Kugel wird erreicht, dass die Vergrößerung des Kugelabstands um 1 cm einem zurückgelegtem Weg von 1 cm des x-y-Schreibers entspricht. So gibt es für die unabhängige Variable x eine direkte Verbindung. Dies reduziert zumindest in x-Richtung die Abstraktheit der Messung im Vergleich mit Cassy.

Zu guter Letzt hat die Verwendung des fast "historischen" x-y-Schreibers auch einen gewissen Charme. Dadurch wird die Durchführung für den Schüler spannender und hat eine zusätzliche motivatorische Komponente.


Versuchsanleitung

Die zwei geladenen Kugeln "simulieren" zwei Punktladungen in diesem Experiment. Eine dieser Kugeln ist mit einem Kraftsensor verbunden, die zweite auf einem Rollwagen befestigt. Diese ist dadurch in einer Dimension beweglich. Der Rollwagen ist mit einem Faden an dem Messchlitten des x-y-Schreibers befestigt. Am y-Eingang des Schreibers ist der Kraftsensor angeschlossen, so wird auf der y-Achse die gemessene Coulombkraft aufgetragen. Beim Start der Messung bewegt sich nun der Messschlitten des Schreibers, entfernt damit gleichzeitig den Rollwagen mit der zweiten Kugel von der ersten, vergrößert damit den Abstand der beiden Kugeln und trägt so die Coulombkraft in Abhängigkeit des Abstands der Kugelmittelpunkte auf. Abb. 2 zeigt beispielhaft eine solche Messkurve.

Vorbereitungen/Grundsätzliches zu E-Statik-Versuchen

Wie häufig bei Versuchen in der Elektrostatik ist auch hier eine sorgfältige Vorbereitung des verwendeten Materials Voraussetzung, um zufriedenstellende Messergebnisse zu erhalten (vgl. auch Götz/Dahnke/Langensiepen [1] (1992), S. 118-119 und [2] Leybold):

  • Alle verwendeten Materialien sollten möglichst staubfrei sein, um eine Spitzenwirkung durch diesen zu vermeiden.
  • Alle isolierenden Teile, insbesondere die Isolierstiele, auf denen die geladenen Kugeln befestigt sind, sollten nicht nur wegen des Staubs vorab gereinigt werden. So führen z.B. Salze (Schweiß) zu "Leckströmen" bzw. einem Ladungsabfluss von den Kugeln. Dies wollen wir verhindern. Dazu eignet sich besonders destilliertes Wasser oder Spiritus. Bei der Verwendung von Spiritus sollte gerade bei Klebestellen geprüft werden, ob der Kleber nicht angelöst wird. Als Alternative hat sich auch Glasreiniger bewährt.
  • Vor der Durchführung sollten die Geräte frühzeitig in den Unterrichtsraum gebracht werden. Ist der Vorbereitungsraum kühler, so bildet sich auf den nun kühleren Geräten ein Feuchtigkeitsfilm. Auch hier kommt es durch Oberflächenströme zu Ladungsabfluss.
  • Es ist auch sinnvoll, die Luftfeuchtigkeit im Raum möglichst gering zu halten. Auch wenn diese entgegen der weitverbreiteten Meinung nur eine sekundäre Bedeutung zu haben scheint (vgl. Kastner/Farwig [2] (1983), S. 214-216), verstärkt sie doch obigen Effekt. Dies kann einerseits durch Lüften erreicht werden, andererseits sollten empfindliche Versuche zu Beginn der Stunde durchgeführt werden, da die hohe Anzahl von Schülern/Zuhörern die Luftfeuchtigkeit sehr schnell ansteigen lässt.
  • Alle leitenden Teile sollten so weit wie möglich von den geladenen Kugeln entfernt aufgebaut werden, um Influenzeffekte zu minimieren.


Materialien

Abb. 1: Beschrifteter Versuchsaufbau mit Detailaufnahmen

Folgende Materialien werden für den Aufbau des Experiments benötigt:

  • Messschiene mit Rollwagen
  • 2 Kugeln, metallisiert, je auf Isolierstiel
  • Kraftsensor mit Anschlusskabel
  • Newtonmeter
  • Klemmreiter/"Stopper" für Rollwagen, nichtleitend
  • Erdungskabel
  • Hochspannungsnetzgerät, 25 kV
  • Hochspannungskabel mit Spitze
  • Isolatorstange
  • Stativlochstange, isoliert, mit Sockel
  • x-y-Schreiber
  • Experimentierkabel
  • Umlenkrolle mit Befestigungsmaterial (zur Befestigung am Tisch)
  • lose Rolle mit Haken und Massestück
  • Faden
  • Millimeterpapier
  • Stativmaterial und/oder optische Achse

Zusätzlich/Optional:

  • (Dokumenten-)Kamera
  • 3 optische Bänke

Aufbau

In Abb. 1 sieht man den vollständigen, beschrifteten Aufbau des Versuchs. Die Grundlage ist ein Experimentierset von Leybold. Dort finden sich auch weitere Hinweise zu einem Teil der verwendeten Materialien (siehe [3], Leybold, Versuch P3.1.2.2) und zu Teilen des Aufbaus (siehe [4], Handblatt Leybold, Versuch P3.1.2.2, ohne Verwendung des x-y-Schreibers).

Wir beginnen mit dem Aufbau der Messschiene und des Rollwagens. Auf dem Rollwagen muss nun eine der Kugeln mit dem Isolierstiel befestigt werden. Bei Verwendung des Rollwagens, der in Abb. 1 zu sehen ist, ist dies durch Aufstecken möglich, da der Rollwagen einen Kupplungsstecker zum Aufstecken des von innen hohlen Isolierstiels besitzt. Die zweite Kugel wird an dem Kraftsensor befestigt. Dieser wird nun mittels Stativmaterial auf Höhe der ersten Kugel positioniert. Für eine gute Übersicht hat es sich bewährt, keine einzelnen Stative, sondern eine optische Achse zu verwenden (siehe Abb. 1). Da wir die Kugeln zur Messung gleichnamig laden werden, ist es sinnvoll den Kraftmesser so zu drehen, dass abstoßende Kräfte positiv gemessen werden. Die Richtungen sind in der Regel auf dem Kraftsensor markiert. Ein Klemmreiter bzw. Stopper wird nun auf der Messschiene so befestigt, dass die Kugeln sich nicht berühren können. Wird zum Beispiel ein minimaler Abstand von 0,2 cm eingestellt, so ist der Abstand der Kugelmittelpunkte bei r_0=4 \ cm (Kugeldurchmesser 38 mm, Leybold Ladungskörpersatz). Da auch die Abstandsmessung über den x-y-Schreiber realisiert wird, müssen wir dabei nicht auf die Skala der Messschiene achten. Werden andere Kugeln verwendet, muss jeweils der Kugeldurchmesser bzw. der Abstand der Kugelmittelpunkte bestimmt werden. Der Kraftsensor wird nun noch mit dem Newtonmeter verbunden.

Nun kann das Hochspannungsnetzteil aufgebaut werden. Wir verbinden das Hochspannungskabel mit dem Pluspol und den Minuspol mit Erde bzw. Masse des Netzteils. Die Spitze des Hochspannungskabels wird durch das oberste Loch der isolierten Stativlochstange gesteckt. Das Hochspannungskabel sollte so geführt werden, dass es genügend Abstand zum sonstigen Versuchsaufbau hat, um Influenzeffekte zu minimieren. Dies gilt auch für das Netzteil selbst. Zudem sollte das Kabel den Tisch nicht berühren, da es auf Grund der hohen Spannung zu Überschlägen kommt. Realisiert wurde dies, indem das Kabel über einen Isolator gehängt wurde. Der Isolator wurde mittels Stativstange auf der optischen Achse befestigt (siehe auch dazu Abb. 1). Zur besseren Übersicht können Newtonmeter und Netzteil jeweils auf optische Bänke gestellt werden.

Nun muss noch die Messwerterfassung mittels x-y-Schreiber aufgebaut werden. Der x-y-Schreiber wird wie in Abb. 1 positioniert. Der Ausgang des Newtonmeters wird mit den Experimentierkabeln mit dem y-Eingang des x-y-Schreibers verbunden.
Würden wir nun eine Messung mit dem x-y-Schreiber starten, so zeichnet dieser die Größe der Coulombkraft als y-Wert über eine Zeit t auf, indem sich der Messschlitten in x-Richtung bewegt. Diese Funktion nutzen wir aus, um die Größe in Abhängigkeit des Abstands der Kugelmittelpunkte r zu messen. Dazu verbinden wir den Messschlitten mit Hilfe eines Fadens mit dem Rollwagen. Starten wir nun die Messung, zieht der Messschlitten den Rollwagen entlang der Messschiene. Läuft der Faden entlang/parallel der Messschiene, so bewirkt eine Bewegung des Messschlittens um 1 cm auch eine Vergrößerung von r um 1 cm. Da wir den initialen Abstand r_0 kennen, können wir nun zu jedem Messpunkt den Abstand der Kugelmittelpunkte r an der x-Achse des aufgetragenen Graphen ablesen.

Bei dem Aufbau ist darauf zu achten, dass der Faden gespannt ist, jedoch den Rollwagen nicht vom Klemmreiter/Stopper entfernt, sonst ändert sich r_0, der initiale Abstand der Kugelmittelpunkte. Da beide Kugeln positiv geladen sind, stoßen sie sich ab. Um einerseits den Faden zu spannen und andererseits der Abstoßung entgegenzuwirken wird an einem zweiten Faden auf der anderen Seite des Rollwagens ein kleines Massestück befestigt. Der Faden wird über eine am Tisch befestigte Rolle gelegt, das Massestück hängt so an der Seite des Tisches (siehe Detailaufnahme in Abb. 1).

Die Aufzeichnung der Messkurve wurde in dem Aufbau in Abb. 1 zusätzlich mit einer Dokumentenkamera gefilmt und an die Wand projeziert. Wie bereits im didaktischen Teil erwähnt, ist auch eine Aufnahme und Auswertung der Messung mit Cassy möglich. Für weitere Informationen zu dem Aufbau mit Cassy sei auf Leybold (siehe [5], Leybold, Versuch P3.1.2.3) verwiesen. Auch kann dieser Aufbau für die weitere Erarbeitung des Coulombschen Gesetzes genutzt werden. So kann man die Proportionalität der Kraft zur jeweiligen Ladung nachweisen und bei Kombination mit einer Ladungsmessung die elektrische Feldkonstante abschätzen.

Durchführung

Da die zu messenden Kräfte sehr klein sind und der Kraftsensor dementsprechend empfindlich ist, sind störende Einflüsse, wie z.B. Luftzug oder Erschütterungen zu vermeiden. Laut Hersteller (Leybold) muss zudem das hier verwendete Newtonmeter mit angeschlossenem Kraftsensor 30 Minuten warmlaufen (vgl. [6], Handblatt Leybold, Versuch P3.1.2.2).

Zunächst müssen die beiden Kugeln geladen werden. Dafür fahren wir den Rollwagen mit der Kugel zunächst möglichst weit weg. Das Hochspannungsnetzteil wird eingeschaltet. Beide Kugeln werden nacheinander mit 25 kV geladen, indem diese mit der Spitze des Hochspannungskabels berührt werden. Auch hier muss darauf geachtet werden, dass das Kabel den Tisch nicht berührt oder zu nah an leitende Gegenstände kommt. Dies führt zu Überschlägen (beachte dazu auch die Tipps in den Sicherheitshinweisen). Anschließend sollte das Kabel zurück in die Halterung gesteckt werden. Unbedingt ist die Spannung wieder auf Null zu drehen (störende Influenzeffekte, Sicherheit).

Bei dem maximalen Kugelabstand muss das Newtonmeter nun genullt werden. Danach wird der Rollwagen auf den Abstand r_0 zurückgeschoben. Im Zusammenspiel mit dem x-y-Schreiber hat sich der mittlere Messbereich bis 200 mN angeboten. Die gemessenen Werte bei minimalem Abstand lagen bei ca. 7 mN. Auch ist es sinnvoll das Newtonmeter auf der Einstellung Slow zu betreiben. Dadurch wird ein übermäßig schnelles Zittern des Stifts des x-y-Schreibers vermieden.

Nun muss noch die Einstellung des x-y-Schreibers angepasst werden. Als erstes wählen wir die Geschwindigkeit für den Vorlauf des Messschlittens, für eine schöne Kurve haben sich 0,5\ \frac{s}{cm} bewährt. Als Richtwert für den y-Messbereich dient 10\ \frac{mV}{cm} und zwar auf der Stelltung "cal" (kalibrierter Messbereich). Als erstes muss bei genulltem Newtonmeter nun die Nullpunktstellung mit Hilfe des Drehreglers am x-y-Schreiber eingestellt werden. Steht der Stift bei 0 Newton auf dem Nullpunkt des Millimeterpapiers, werden die geladenen Kugeln zusammengeschoben. Bleibt der Stift bei maximaler Kraft innerhalb des Messbereichs, wird nun auf die Schalterstellung "var" (variabler Messbereich) umgestellt. Nun kann mit Hilfe des zweiten Drehreglers langsam ein Vergrößerungsfaktor so eingestellt werden, dass der gesamte zur Verfügung stehenden Messbereich des Schreibers ausgenutzt wird. Die Skala entspricht nun natürlich nicht mehr den eingestellten 10 mV/cm, sondern bspw. 12 mV/cm bei einem Vergrößerungsfaktor von 1,2. Der Vergrößerungsfaktor kann schnell errechnet werden, wird aber in der Auswertung nur zur Fehlerrechnung benötigt. Soll der Versuch mit einer Fehlerrechnung ausgewertet werden, muss an dieser Stelle zu jeder Messreihe der erste Messwert bei r_0 notiert werden. Die Nullpunktstellung und die Passung des Messbereichs sollte vor jeder Messung geprüft und ggf. angepasst werden. Auch muss das Newtonmeter vor jeder Messung genullt werden. In der Regel ist nur das Finden der besten Einstellung bei der ersten Durchführung etwas aufwändiger, wenn nichts verstellt wird, geht es anschließend schnell.

Bei eingelegtem Millimeterpapier wird die Messung nun gestartet.

Obige Werte zur Einstellung z.B. des x-y-Schreibers sind nur Richtwerte, die sich bei der Durchführung bewährt haben. Insbesondere bei der Verwendung anderer Geräte können diese auch nur als solche dienen.

Ergebnisse

Abb. 2: Beispiel einer Messung

Abb. 2 zeigt ein Beispiel einer Messkurve auf Millimeterpapier. Beim ersten Betrachten wird klar, dass es zumindest möglich ist, dass es sich um die erwartete \frac{1}{r^2}-Abhängigkeit handeln könnte.

Folgende Messwerte wurden aus einer weiteren Messkurve alle 0,5 cm abgelesen und für die Auswertung im folgenden Kapitel verwendet. Dabei wird der Wert der Coulombkraft nicht in Newton angegeben, da dieser mit Hilfe des beim x-y-Schreiber eingestellten Vergrößerungsfakors erst berechnet werden müsste. Da wir aber nur deduktiv nachweisen wollen, dass es sich um eine \frac{1}{r^2}-Abhängigkeit handelt, ist diese Umrechnung überflüssig. Daher werden die Werte der Coulombkraft wie folgt angegeben: y \sim F_{Coulomb} mit [cm] \sim [N].

\text{Abstand}\ \ r

[cm]
y \sim F_{Coulomb}

[cm] ~ [N]
4,0 16,20
4,5 16,00
5,0 14,40
5,5 12,70
6,0 11,10
6,5 9,80
7,0 8,70
7,5 7,70
8,0 6,80
8,5 6,20
9,0 5,30
9,5 4,90
10,0 4,30
10,5 4,00
11,0 3,60
11,5 3,00
12,0 2,90
12,5 2,60
13,0 2,40
13,5 2,10
14,0 1,90
14,5 1,80
15,0 1,65
15,5 1,50
\text{Abstand}\ \ r

[cm]
y \sim F_{Coulomb}

[cm] ~ [N]
16,0 1,30
16,5 1,40
17,0 1,10
17,5 1,10
18,0 1,10
18,5 0,85
19,0 1,00
19,5 0,80
20,0 0,65
20,5 0,65
21,0 0,60
21,5 0,70
22,0 0,55
22,5 0,55
23,0 0,55
23,5 0,50
24,0 0,60
24,5 0,40
25,0 0,50
25,5 0,45
26,0 0,40
26,5 0,35
27,0 0,40
28,0 0,20



Auswertung

Qualitative Auswertung

Für eine (erste) eher qualitative Auswertung betrachten wir die Messwerte in den Abständen r_1=5\ cm, r_2=2 \cdot r_1=10\ cm und r_3=3 \cdot r_1=15\ cm. Zur Bestätigung der Proportionalität zu \frac{1}{r^2} erwarten wir folgendes Ergebnis:

F_{r_2}= \frac{1}{4} \cdot F_{r_1} und F_{r_3}= \frac{1}{9} \cdot F_{r_1}.

Dies kann über mehrere Messreihen schnell mit Hilfe einer Exceltabelle geprüft werden. Wir erhalten folgendes Ergebnis (die Werte der Coulombkraft sind wie oben beschrieben "in cm" angegeben):

Messreihe F_{r_1} F_{2r_1} F_{3r_1} \frac{F_{2r_1}}{F_{r_1}} \frac{F_{3r_1}}{F_{r_1}}
1 14,4 4,3 1,7 0,30 0,12
2 14,8 4,3 1,5 0,29 0,10
3 15,4 4,5 1,4 0,29 0,09
4 15,2 4,6 1,7 0,30 0,11
5 14,6 4,4 1,6 0,30 0,11
6 16,2 4,6 1,8 0,28 0,11
7 14,3 4,3 1,6 0,30 0,11
Mittelwert 0,30 0,11
Zielwert 0,25 0,11
Abweichung 18,29% -2,96%


Abb. 3: Veränderte Ladungsverteilung durch Influenzwirkung bei kleinen Abständen r

Obige Werte sprechen durchaus für eine Bestätigung des Coulombschen Gesetzes. Es fällt jedoch auf, dass der Mittelwert der Messwerte der Coulombkraft beim doppelten Abstand  r_1 um fast 20 % von dem Zielwert abweicht, der Mittelwert bei dreifachem Abstand nur sehr geringe Abweichungen hat. Gleichzeitig streuen die Messwerte selbst bzw. die Verhältnisse der Coulombkräfte in verschiedenen Abständen (Spalte 4 und 5 obiger Tabelle) kaum. Bei doppeltem Abstand liegt das Verhältnis \frac{F_{2r_1}}{F_{r_1}} immer deutlich über dem Zielwert von 0,25, nie darunter. Auch stellen wir bei Analyse der Unsicherheiten (siehe Kapitel Quantitative Auswertung) fest, dass die Abweichungen bei doppeltem Abstand nicht mit Hilfe dieser zu erklären sind, da die Werte deutlich außerhalb der Fehlerintervalle liegen. Dies legt die Vermutung nahe, dass bei der Messung zusätzlich ein systematischer Fehler existiert, der aber nur bei geringen Abständen der Kugelmittelpunkte zum Tragen kommt.

Eine mögliche Erklärung dieser Systematik ergibt sich bei einem erneuten Blick auf den Versuchsaufbau und das Coulombgesetz. Dieses gilt nur für Punktladungen bzw. kugelsymmetrische Ladungsverteilungen. Von Punktladungen kann aber nur dann näherungsweise ausgegangen werden, wenn der Abstand der Kugelmitten groß im Vergleich zum Kugelradius ist. Dies ist bei kleinen Abständen nicht der Fall. Insbesondere bei kleinen Abständen weicht die Ladungsverteilung auf den Kugeln stark von einer kugelsymmetrischen Verteilung ab, da im Nahfeld eine starke Influenzwirkung auftritt (siehe Abb. 3). Diese verringert sich auch quadratisch mit \frac{1}{r^2}, daher reduziert sich die Influenzwirkung schnell mit größeren Abständen. Es kann dann näherungsweise von einer kugelsymmetrischen Verteilung bzw. von einer Punktladung ausgegangen werden.

Abb. 4: Beispielhafte Auswertung einer Messung


Quantitative Auswertung

Um diese Theorie zu verifizieren, wird die unter Ergebnisse angegebene Messreihe genauer untersucht. Betrachten wir zunächst die Messunsicherheiten. Bei der Messung der Coulombkraft ~ y-Wert in cm treten folgende Unsicherheiten auf:

  • ein Ablesefehler von 0,05 cm (Millimeterpapier)
  • Unsicherheit des x-y-Schreibers, dieser hat bei der Messung stark "gezittert", nach Beobachtung der Amplitude gehen wir hier von einer Unsicherheit von 0,2 cm aus.
  • Unsicherheit des Newtonmeters: Das Newtonmeter hat um bis zu 2 Digits geschwankt, was 0,2 mN entspricht. Umgerechnet in cm (mit Hilfe des Vergrößerungsfaktors bzw. der Skalierung der y-Achse) entspricht dies für obige Messreihe ca. 0,47 cm. Den Vergrößerungsfaktor jeder Messreihe erhalten wir aus dem mitgeschriebenen maximalen Messwert in mN bei r_0 über den Quotienten des y-Werts in cm dividiert durch den Messwert in mN (hier \frac{16,2 \ cm}{6,8 \ mN}).

Mit pythagoräischer Addition ergibt sich eine Gesamtunsicherheit für den y-Wert von rund 0,52 cm. Die Unsicherheit des x-Wertes wird mit 0,2 cm abgeschätzt (Zittern des x-y-Schreibers und Ablesefehler).

Nun tragen wir die Messwerte mit Unsicherheiten auf und fitten diese mit einer \frac{1}{r^2}-Funktion (siehe Abb. 4). Beziehen wir alle Messwerte in den Fit mit ein, so erhalten wir die rote Kurve (Abb. 4). Es ist zu erkennen, dass der Graph erst für Werte r > 11 cm innerhalb der Fehlerbalken liegt. Dies ist unbefriedigend, da bei diesen Werten die Gesamtunsicherheit bereits in beide Richtungen mindestens 20 % beträgt. Diese Kurve wäre also zur Bestätigung des Coulombzusammenhangs nicht sehr aussagekräftig.

Beziehen wir nun aber unsere Vermutung über den systematischen Fehler mit ein, indem wir die ersten Messwerte (r < 4,5 cm bei der grünen Kurve, r < 6,5 cm bei der blauen Kurve, Abb. 4) nicht in den Fit mit einbeziehen, so erhalten wir ein sehr gutes Ergebnis (Fit-Parameter sind in Abb. 4 zu entnehmen). Die Werte für r < 6,5 cm liegen systematisch unterhalb der blauen Kurve, die Coulombkraft wird also durch die entgegenwirkende Influenz in den Kugeln reduziert. Auch ist der Grafik deutlich zu entnehmen, dass der Effekt stärker wird, je kleiner der Abstand ist. Die Abweichung im Nahfeld ist beispielhaft für zwei Messwerte in Abb. 4 veranschaulicht (vertikale Linien mit roten Dreiecken).

Die genauere Auswertung untermauert also einerseits die Vermutung über den systematischen Fehler durch die Reduzierung der Ladung auf die Kugelmittelpunkte, der im Nahfeld zum tragen kommt. Andererseits zeigt die Auswertung, dass das Experiment zur Bestätigung des Coulombschen Gesetzes für hinreichend große Abstände sehr gut geeignet ist und damit, wie im didaktischen Teil behauptet, die Messgenauigkeit des x-y-Schreibers ausreichend ist. Es bestätigt sich auch, dass sich ein Fokus auf die Datenauswertung aufgrund vielfältiger Unsicherheiten nicht nur anbietet, sondern für einen quantitativen Nachweis des Coulombgesetzes nötig ist.

Sicherheitshinweise

Bei dem Versuch wird mit Hochspannung gearbeitet (25 kV)! Das Kabel zum Laden der Kugeln (in diesem Aufbau) ist zwar bereits ein Hochspannungskabel, jedoch auch nur bis 1kV geeignet. Die Folge sind Überschläge zum Tisch, zur Hochspannungsquelle und natürlich auch zum Experimentator. Das kann auch schon mal etwas unangenehm sein. Nach meiner Erfahrung lassen sich die (unangenehmen) Stromschläge vermeiden, wenn man Schuhe mit dicken Sohlen (z.B. Winterboots) trägt. Die geladenen Kugeln sollten nach dem Experimentieren immer mit einer Erdung entladen werden. Auch hier kann es sonst bei Berührung zu Stromschlägen kommen.

Daher ist dieses Experiment nicht als Schülerexperiment geeignet.

Literatur

  1. Götz, R./Dahnke, H./Langensiepen, F. (Hrsg.) (1992): Handbuch des Physikunterrichts, Sekundarbereich I - Band 5: Elektrizitätslehre I; Aulius Verlag, Deubner & Co KG
  2. Kastner, B. & Farwig, P. (1983): "Hängt das Gelingen elektrostatischer Versuche von der Luftfeuchte ab?" in Vorträge der Frühjahrstagung 1982, Deutsche Physikalischen Gesellschaft, Giessen

Siehe auch