Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe von Lissajous-Figuren

Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe von Lissajous-Figuren
Abb.1: Versuchsaufbau
Kurzbeschreibung
Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit durch Phasenvergleich mittels Lissajous-Figuren
Kategorien
Optik
Einordnung in den Lehrplan
Geeignet für:	Sek. II
Basiskonzept:	System, Wechselwirkung
Sonstiges
Durchführungsform	Lehrerdemoexperiment, Schülergruppenexperiment
Anzahl Experimente in dieser Unterkategorie	3
Anspruch des Aufbaus	mittel
Informationen
Name:	Sabine Löhr
Kontakt:	${\text{sabine.loehr}}$@${\text{hu-berlin.de}}$
Uni:	Humboldt-Universität zu Berlin
Betreuer*in:	Stephan Pfeiler

Dieser Versuch zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Medien beruht auf Phasenvergleich eines hochfrequent modulierten Lichtstrahls nach Durchlaufen einer Wegstrecke. Das modulierte Licht einer Leuchtdiode wird über einen Umlenkspiegel auf eine Fotodiode gelenkt und die Spannung der Sende- und Empfangsdiode durch ein Oszilloskop angezeigt. Im x-y-Modus gibt die Form der Lissajous-Ellipse Aufschluss über die Phasenverschiebung des Lichts auf der Laufstrecke und damit über die Laufzeit. Der Versuch ermöglicht die Messung der Lichtgeschwindigkeit auf kleinem Raum und in verschiedenen Medien, die in den Laufweg eingebracht werden. Im hier dargestellten Experiment wurde die Lichtgeschwindigkeit in Luft, Wasser und Plexiglas gemessen.

Video 1: Versuchsablauf

Didaktischer Teil

Das Thema Lichtgeschwindigkeit findet sich im Berliner Rahmenlehrplan der Sekundarstufe I im Wahlmodul W10 „Natur des Lichts“ (Klasse 9/10) bzw. in der Einführungsphase der Sekundarstufe II im Modul „Leitthema: Licht – physikalisch gesehen“ . Im Gegensatz zu anderen Schulexperimenten zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit wie der Drehspiegelmethode nach Foucault, lassen sich in dem hier beschriebenen Versuch mit geringem Aufwand und Platzbedarf Messergebnisse großer Genauigkeit für verschiedene Medien erzielen. Außerdem bietet die Visualisierung durch Lissajous-Figuren den Schülerinnen und Schülern einen anschaulichen, ästhetischen Zugang. Der theoretische Hintergrund ist allerdings relativ komplex, in beiden Jahrgangsstufen besitzen die Schülerinnnen und Schüler in der Regel nicht das ausreichende Fachwissen zum umfassenden Verständnis, denn elektromagnetische Schwingungen und Wellen, das Prinzip der Modulation oder parametrisierte Kurven werden erst im Unterricht der Sekundarstufe II vermittelt.

Gerade wegen der Komplexität bietet sich das Experiment zur späteren Behandlung im Unterricht an und kann im 2. Kurshalbjahr (PH-2) im Modul „Elektromagnetische Wellen“ oder im Anschluss als Wahlthema „Wellenoptik“ im Leistungskurs oder engagierten Grundkursen behandelt werden. Der Versuch dient dann zur Vertiefung, Vernetzung und Festigung von Fachwissen; Funktion und Verständnis des Messverfahrens stehen im Vordergrund. In der Vertiefungsphase soll das Gelernte mit dem bisherigen Wissen vernetzt und technisch angewendet werden, um ein aus lernpsychologischer Sicht effektives Lernen zu ermöglichen. Nach Kircher ist zu prüfen, inwieweit der Versuchsinhalt mit vorhandenen Konzepten der SuS verknüpft werden kann und ob die Grundlagen gegeben sind, "dass SuS wichtige Zusammmenhänge im Versuchsablauf erkennen und daraus später auch Kausalzusammenhänge erkennen können" .

Die Kausalkette in diesem Versuch ergibt sich aus vielfältigen Faktoren: Fermat-Prinzip, Reflexion und Brechung, Licht als elektromagnetische Welle und Informationsträger, Dispersionsrelation, Phasengeschwindigkeit, Funktion des Oszilloskops, ggf. auch elektronische Bauteile und Schaltungen. Zum Verständnis der Lissajous-Figuren müssen außerdem die Überlagerung von zueinander senkrechten harmonischen Schwingungen sowie die mathematische Beschreibung mit Hilfe der Sinus-Funktion verstanden sein.

Die Transferleistung im Verständnis des Versuchs liegt in der Anwendung und Verknüpfung von zuvor Gelerntem aus verschiedenen physikalischen, technischen und mathematischen Wissensbereichen. Transfer bedeutet nach Rainer Lersch Erwerb intelligenten, vernetzten und anschlussfähigen Wissens sowie das Anwendenkönnen dieses Wissen. Setzt man den Versuch in diesem Sinn im Unterricht ein, trägt er zur Kompetenzbildung im Fachwissen, Anforderungsbereich III "Transfer" bei. Zur Unterstützung des Lerntransfers gibt es sehr gut geeignete Applets, z.B. Geogebra-Datei zur Überlagerung von Sinusschwingungen und Schwebung, Java-Applet zur Modulation und Java-Applet zu Lissajous-Figuren

Versuchsanleitung

Aufbau

Abb.2:Versuchsaufbau zur Messung der Lichtgeschwindigkeit in Luft

Im Versuch wird das Lichtgeschwindigkeitsmessgerät 11224.93 des Herstellers PHYWE verwendet, das folgende Teile umfasst:

• Grundplatte aus Stahl, 2 m lang, skaliert mit Teilung in 0,5 cm

• Betriebsgerät mit Leuchtdiode als Lichtsender und Fotodiode als Empfänger sowie der benötigten elektronischer Schaltung

• 2 Plan-Konvex-Linsen auf Magnetfüßen

• 1 justierbarer Umlenkspiegel

• Justierhilfe, bestehend aus Justierlampe und Justierblende

• 1 Rohrküvette, 1m lang, Seiten aus Plexiglas, befüllbar mit ca. 2l Flüssigkeit

Außerdem wurden verwendet:

• 1 Oszilloskop der Fa. HAMEG, HM 604, 60 MHz

• 1 Digitalzähler der Fa. NEVA, Nr. 7272

• 1 Plexiglasstab, l=330mm, d=50mm

Die Grundplatte wird auf einer Stellfläche von etwa 2m aufgestellt und waagerecht ausgerichtet. Auf ebene Übergänge an den Verschraubungen ist zu achten. Das Betriebsgerät wird auf dem linken Teil der Platte aufgestellt, an die Netzspannung angeschlossen und eingeschaltet. Das Gerät benötigt 15 min zum Erreichen maximaler Phasenkonstanz, diese Zeit kann für die optische Justierung des Versuchs verwendet werden. X- und Y-Ausgang des Betriebsgerätes werden über BNC-Kabel mit dem Oszilloskop verbunden. Am Frequenzausgang (f/10³) des Betriebsgerätes wird der Digitalzähler angeschlossen, um die Betriebsfrequenz von 50,1 MHz aus didaktischen Gründen zu veranschaulichen (hierzu s.a. 3.2.1 ). Die beiden Linsen werden mit der Planseite vor der Sende- und Empfangsdiode des Betriesgerätes auf der Grundplatte platziert. Der Umlenkspiegel wird so auf die Grundplatte gestellt, dass seine Spiegelflächen zu den Dioden weisen.

Justierung

Abb.3: Justierung des Sendesignals (links) und des Empfangssignals (rechts). Der Lichtpunkt muss die Blende bzw. Diode konzentrisch bedecken. Das Bild zeigt den fertig justierten Zustand.

Der Versuchsaufbau muss vor der Messung optisch justiert werden. Im Folgenden wird die Justierung im abgedunkelten Raum beschrieben, mit Hilfe der Justierlampe kann eine Justierung auch bei normaler Raumbeleuchtung erfolgen. Der Umlenkspiegel wird am Ende der Messstrecke platziert und die Justierblende auf die senderseitige Hälfte des Spiegels mittig aufgesetzt. Die Linse vor der Senderdiode wird so zentriert und fokussiert, dass der Lichtfleck die Justierblende trifft und etwas größer als deren Ausschnitt ist. Die Umlenkung des Lichtstrahls soll rechtwinklig erfolgen, ggf. ist der Umlenkspiegel über die Justierschrauben entsprechend einzustellen. Nach Umlenkung durch den Spiegel muss das Lichtbündel mittig auf die Empfängerlinse treffen, auch hier soll der Lichtfleck in etwa dem Linsendurchmesser entsprechen. Durch Variieren des Abstands von Linse und Empfängerdiode wird der Brennfleck auf die Fotodiode fokussiert. Der gesamte Laufweg des Lichts muss in einer Ebene parallel zur Grundplatte erfolgen.

Zur weiteren Feinjustierung beobachtet man das Empfängersignal im y-t-Betrieb des Oszilloskops. Eine optimale Justierung ist erreicht, wenn sich durch geringfügiges Verschieben der Linsen die y-Amplitude nicht weiter vergrößern lässt, also die Fotodiode die maximale Intensität empfängt. Nach wiederholtem Ausführen der Justierung gelingt diese bei folgenden Durchführungen rasch und sicher.

Durchführung

Messprinzip

Abb.4: Lissajous-Figuren bei Frequenz- und Amplitudengleichheit in verschiedenen Phasenlagen

Die Sendediode wird vom Betriebsgerät mit einer hochfrequenten Wechselspannung (f= 50,1 MHz) gespeist, dadurch ist die Intensität des emittierten Lichts periodisch moduliert. Trifft das Licht nach Durchlaufen einer bestimmten Wegstrecke auf die Fotodiode, wird hier eine Wechselspannung gleicher Frequenz, aber im Allgemeinen abweichender Phasenlage erzeugt. Ein empfindlicher Phasenvergleich ist mit Hilfe des Oszilloskops möglich. Im x-y-Modus zeigt das Oszilloskop bei zwei anliegenden Spannungen gleicher Frequenz eine Ellipse als Lissajous-Figur, die bei den Phasendifferenzen Null und π zu einer Linie entartet. Für die Messung wählt man als Ausgangslage eine Phasenverschiebung von Null und ändert dann die Wegstrecke um Δl gerade so, dass sich die Phasenlage um π verschiebt.

Die Laufzeitdifferenz Δt zwischen beiden Lichtwegen beträgt dann Δt=${\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{f}}$ und die Lichtgeschwindigkeit kann mit c = ${\tfrac {\Delta l}{\Delta t}}$ berechnet werden.

Um den hochfrequenten Phasenvergleich auch mit einfachen schulüblichen Oszilloskopen zu ermöglichen, wird im Betriebsgerät die Sende- und Empfangsspannung (f=50,1 MHz) mit einer beinahe übereinstimmenden Frequenz (f=50,05 MHz) überlagert und die Differenzenfrequenzen ausgefiltert. Die Phasenverschiebung von Sende- und Empfangssignal bleibt nach der Überlagerung erhalten und überträgt sich auf die Schwebung. So stehen am x- und y-Ausgang des Betriebsgerätes 50kHz zur Verfügung und können mit einem Digitalzähler gemessen und sichtbar gemacht werden.

Das Betriebsgerät ist außerdem mit einem Phasenschieber ausgestattet, um die Startposition der Messung relativ frei bestimmen zu können.

Messung der Lichtgeschwindigkeit in Luft

Abb.5: Laufweg bei der Messung in Luft

Abb.6: Laufweg bei der Messung in Wasser

Abb.7: Messung der Lichtgeschwindigkeit in Wasser

Abb.8: Messung der Lichtgeschwindigkeit in Plexiglas

Nach der Justierung wird der Umlenkspiegel auf der Nullposition der Grundplatte platziert. Das Oszilloskop wird in x-y-Modus geschaltet und zeigt eine Ellipse an, die mit Hilfe des Phasenschiebers zu einer geneigten Linie verändert wird. Der Mittelteil der Ellipse kann über den Verstärkungsfaktor des Oszilloskops vergrößert werden, so dass die Einstellung relativ genau erfolgen kann.

Nun wird der Umlenkspiegel auf der Grundplatte vom Sender weg verschoben und auf dem Oszilloskop öffnet sich die Linie zu einer Ellipse, deren Halbachse sich immer weiter neigt und die sich schließlich zu einer Linie entgegengesetzter Neigung schließt. An dieser Position wird die Entfernung zum Nullpunkt der Skala der Grundplatte als Δx_L gemessen und es ergibt sich die Lichtgeschwindigkeit in Luft als

c_L = ${\tfrac {2\Delta x_{L}}{\Delta t}}$ = 4 f Δx_L.

Messung der Lichtgeschwindigkeit im Wasser

Die Küvette der Länge l_W=1m wird mit Wasser gefüllt und mit Hilfe der Halterung auf die Grundplatte gestellt, so dass das Licht auf dem Hin- oder Rückweg das Wasser durchläuft. Der Umlenkspiegel wird dicht hinter der Küvette platziert, die Position als x₁ notiert und und im Oszilloskop mit Hilfe des Phasenschiebers eine Lissajou-Linie eingestellt. Dann wird die Flüssigkeit restlos aus der Küvette entfernt und der Spiegel soweit verschoben, bis bei leerer Küvette die gleiche Lissajou-Linie erscheint; diese Position wird als x₂ notiert. Da die Phasenverschiebung für beide Spiegelstellungen gleich war, hat das Licht für beide Wegstrecken die gleiche Laufzeit gebraucht und deshalb gilt:

${\tfrac {l_{ges}}{c_{L}}}-{\tfrac {l_{W}}{c_{L}}}+{\tfrac {l_{W}}{c_{W}}}={\tfrac {l_{ges}}{c_{L}}}+{\tfrac {2(x_{2}-x_{1})}{c_{L}}}$ und damit

${\tfrac {c_{L}}{c_{W}}}={\tfrac {2(x_{2}-x_{1})}{l_{W}}}+1={\tfrac {2(\Delta x_{W})}{l_{W}}}+1$

Bei bekannter Lichtgeschwindigkeit c_L in Luft lässt sich mit Hilfe dieser Formel die Lichtgeschwindigkeit c_W in Wasser berechnen; der Quotient c_L / c_W ist bekanntlich die Brechzahl des Wassers.

Messung der Lichtgeschwindigkeit im Plexiglas

Ein Plexiglasstab der Länge l_P=0,33m mit glatten Stirnseiten wird in den Lichtweg gebracht, der Umlenkspiegel dicht dahinter platziert und eine Lissajou-Linie eingestellt. Anschließend wird der Plexiglasstab entfernt und der Spiegel bis zur nächsten gleichen Lissajou-Linie verschoben. Die Lichtgeschwindigkeit in Plexiglas ergibt sich analog zu b) bei bekanntem c_L als:

${\tfrac {c_{L}}{c_{P}}}={\tfrac {2(\Delta x_{P})}{l_{P}}}+1$

Ergebnisse

Messung Nr.(n)	Messung in Luft ΔxL,i [m]	Messung in Wasser ΔxW,i [m]	Messung in Plexiglas ΔxP,i [m]
1	1,465	0,165	0,080
2	1,470	0,170	0,090
3	1,470	0,165	0,085
4	1,470	0,170	0,090
5	1,465	0,170	0,090
6	1,470	0,170	0,085
7	1,470	0,165	0,090
8	1,475	0,165	0,085
9	1,470	0,170	0,090
10	1,470	0,170	0,090
11	1,465	0,165	0,090
12	1,470	0,170	0,085

Auswertung

Nachfolgend sind die Mittelwerte der Messung sowie die statistische Abweichung dargestellt:

	Luft	Wasser	Plexiglas
Mittelwert ${\bar {x}}$	1,469 m	0,168 m	0,088 m
Abw. 2 σ	0,0017 m	0,0015 m	0,019 m

Der statistische Fehler ist relativ gering, jedoch muss ein systematischer Fehler von ± 1 cm auf Grund der Breite des Oszilloskopstrahls sowie von ± 0,25 cm für die Ablesegenauigkeit an der Skala aufberücksichtigt werden, und zwar jeweils für den Anfangs- und Endpunkt der gemessenen Strecken, so dass die Messunsicherheit der ${\bar {x}}$ insgesamt mit 2 σ + 0,025 m abgeschätzt wird. Für die Längen der Küvette (1,00m) sowie des Plexiglasstabes (0,33m) wird eine Messunsicherheit von ± 0,5 cm und für die quarzstabilisierte Frequenz von 50,1 MHz ± 100 kHz (Herstellerangabe) angesetzt.

Damit ergeben sich aus der Meßreihe die folgenden Werte:

	Wert	rel. Fehler	Literaturwert
Lichtgeschwindigkeit in Luft	cL=(294,4 ± 5,9)· 106m/s	2,0%	299,8· 106m/s
Brechungsindex Luft-Wasser	${\tfrac {c_{L}}{c_{W}}}$ = 1,34 ± 0,01	4,1%	1,33
Lichtgeschwindigkeit in Wasser*	cW = (220,4 ± 13,5 )· 106m/s	6,1%	225· 106m/s
Brechungsindex Luft-Plexiglas	${\tfrac {c_{L}}{c_{P}}}$ = 1,53 ± 0,02	11,2%	1,49
Lichtgeschwindigkeit Plexiglas*	cP = (192,4 ± 25,4)· 106m/s	13,2%	201· 106m/s

*mit Hilfe des oben bestimmtem c_L

Die Berechnungen können anhand der Excel- Datei:Lichtgeschwindigkeit Lissajous.xlsx nachvollzogen werden.

Alle Literaturwerte liegen innerhalb der Fehlerbereiche, bis auf den Brechungsindex Luft-Plexiglas. Ursächlich könnte neben der speziellen Materialzusammensetzung des verwendeten Plexiglasstabs ein systematischer Fehler sein, der bisher nicht näher betrachtet wurde: im Versuch werden Phasengeschwindigkeiten gemessen, das aufmodulierte Signal breitet sich aber genaugenommen mit der Gruppengeschwindigkeit der Lichtwelle aus. Die beiden Geschwindigkeiten unterscheiden sich umso stärker, je größer die Dispersion des Mediums ist. Die Abweichung nach oben könnte also auf der größeren Dispersion von Plexiglas gegenüber Luft und Wasser beruhen.

Literatur

• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 24., überarbeitete Auflage, Springer (2010)

• Versuchsanleitung zum PHYWE Lichtgeschwindigkeitsmessgerät 11224.90 http://www.phywe.de/index.php/fuseaction/download/lrn_file/bedanl.pdf/11224.93/d/1122493d.pdf

Siehe auch

• Drehspiegelexperiment
• Mikrowellen: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit einem Mikrowellenherd